Важным этапом процесса решения задач проектирования ракетно-космических и авиационных конструкций является осуществление расчетов по оптимизации их ключевых характеристик. В статье приведены результаты решения четырех прикладных задач условной оптимизации, связанных с проектированием различных технических систем: определения наилучших параметров сварной балки, сосуда высокого давления, редуктора, пружины. Целью каждой задачи является минимизация стоимости или веса конструкции. Целевые функции в практических задачах оптимизации представляют собой нелинейные функции с большим числом переменных и сложным релье-фом поверхностей уровня. Поэтому применение классических методов поиска экстремума неэффективно. Возникает необходимость использования таких методов оптимизации, которые позволяют находить решение, близкое к оптимальному, за приемлемое время с наименьшими затратами вычислительных ресурсов. К таким методам относятся методы «роевого» интеллекта: метод, имитирующий спиральную динамику; метод, имитирующий поиск группой людей; метод стохастической диффузии, относящиеся к метаэвристическим. Методы «роевого» интеллекта сконструированы таким образом, что поиск точки экстремума производится популяцией (стаей), состоящей из агентов. Агенты (частицы) в ходе поиска точки экстремума обмениваются информацией, учитывают свой опыт, а также опыт лидера популяции и соседей, входящих в некоторую окрестность. Для решения перечисленных задач разработан комплекс программ, эффективность которого продемонстрирована результатами решения четырех прикладных задач. Каждая из рассмотренных прикладных задач оптимизации решена всеми тремя выбранными методами. Полученные численные результаты сравнимы с найденными методом частиц в стае. Приведены рекомендации по выбору параметров методов и значений функций штрафа, учитывающих выполнение ограничений типа неравенств.

Предлагается спектральный метод нахождения оптимального в среднем управления при неполной информации о векторе состояния для многомерных нелинейных непрерывных стохастических систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями Ито. Критерий качества задается в виде среднего значения функционала, определенного на траекториях системы. Ищется управление, зависящее от времени и координат вектора состояния, о которых известна точная информация, поступающая от измерительной системы. Решение задачи поиска оптимального управления опирается на известные достаточные условия оптимальности и следующие из них соотношения. Эти соотношения для определения оптимального управления нелинейными непрерывными стохастическими системами при неполной информации о векторе состояния (система уравнений Фоккера - Планка - Колмогорова и Беллмана, а также связывающие их соотношения, позволяющие определить структуру управления) с помощью спектрального преобразования обычно сводятся к системе нелинейных уравнений для коэффициентов разложения координат оптимального управления и оптимальной плотности вероятности вектора состояния в ряды по функциям некоторой базисной системы. Методика решения этой системы нелинейных уравнений не зависит от выбранного базиса, решение осуществляется либо итерационными методами, либо методом сведения к эквивалентной задаче безусловной оптимизации с последующим применением методов нулевого порядка, в том числе метаэвристических методов поиска глобального экстремума. В представленной статье задача нахождения оптимального управления сводится к задаче оптимизации в пространстве спектральных характеристик управлений (в пространстве коэффициентов разложения управлений по функциям заданной ортонормированной системы). Как частный случай обсуждается решение проблемы учета так называемых геометрических ограничений на управление. При применении спектральной формы математического описания необходимо усекать спектральные характеристики функций, операторов и функционалов до некоторых выбранных порядков, переходя, таким образом, к конечномерным задачам оптимизации. Выбор порядков усечения, а также выбор базисных систем определяют точность приближенного решения задачи оптимального управления.

В работе предлагается новый метод аппроксимации распределения ошибок измерительной системы повышенной точности на основе анализа невязок ее данных с данными более грубой системы. Метод рассматривается на примере сопоставления автоматического зависимого наблюдения в режиме радиовещания (АЗН-В) и используемой в настоящее время радиолокационной системы наблюдений за воздушным движением. Особенность рассматриваемой задачи заключается в том, что значение измеряемого параметра-отклонения воздушного судна от плановой траектории полета, может в масштабе ошибок обеих измерительных систем существенно меняться на периоде измерений. Поэтому уточнение положения воздушного судна за счет многократного измерения его положения с помощью радиолокационной системы невозможно. Доступным оказывается лишь сравнение данных одномоментных измерений двух систем, которые мы будем называть невязками. В работе полагается, что распределение плотности вероятности ошибок грубой измерительной системы (долгое время эксплуатировавшейся) известно, задана гистограмма невязок и требуется получить асимптотическую оценку для распределения вероятности ошибок новой, более точной измерительной системы.В основу предлагаемого подхода положен кумулянтный анализ функций распределения ошибок измерительных систем, позволяющий корректно провести процедуру усечения соответствующих бесконечных рядов. Показано, что вследствие независимости измерительных систем кумулянты распределений их ошибок связаны простым соотношением, что позволяет просто вычислить искомые величины. Для восстановления вида искомого распределения предлагается воспользоваться асимптотическим рядом Эджворта, где в качестве k-й базисной функции используется k-я производная нормального распределения. Последняя пропорциональна полиному Эрмита, в силу чего этот ряд можно рассматривать как ортогональное разложение.В работе приводятся результаты расчетов распределения составляющей координатной ошибки, измеряемой по направлению нормали к траектории движения воздушного судна, с использованием экспериментальных данных по статистике невязок, полученных в филиале «НИИ Аэронавигации» ФГУП ГосНИИ ГА.

Рассмотрено применение метаэвристических методов условной глобальной оптимизации: «большого взрыва - большого сжатия», «фейерверков», «взрыва гранат» в задачах оценки параметров динамических моделей, описываемых дифференциально-алгебраическими уравнениями. Оценка параметров производится по результатам наблюдений за поведением математической модели. Их значения находятся в результате минимизации критерия, описывающего суммарное квадратическое отклонение значений координат вектора состояния от полученных при измерениях точных значений в различные моменты времени. На значения параметров наложены ограничения параллелепипедного типа. Применяемые для решения задачи оптимизации метаэвристические методы поиска условного глобального экстремума не гарантируют нахождения результата, но позволяют получать решение достаточно хорошего качества за приемлемое время. Описана стратегия применения метаэвристических методов. Для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений наряду с явными методами удобно применять неявные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены два примера решения задачи оценивания параметров, отличающиеся видом математической модели. В первой задаче линейная математическая модель описывает изменение параметров химического процесса, а во второй нелинейная модель описывает процесс хищник-жертва, характеризующий изменение популяции из двух видов. Для каждой из рассмотренных моделей приведены результаты расчетов всеми тремя методами оптимизации, даны рекомендации по выбору параметров методов. Полученные численные результаты продемонстрировали эффективность предложенного подхода. Найденные приближенные значения оцениваемых параметров незначительно отличаются от лучших известных решений, полученных другими способами. Для уточнения полученных результатов рекомендуется применять гибридные алгоритмы, сочетающие классические методы оптимизации нулевого, первого и второго порядков и эвристические процедуры.

В работе сделана попытка объяснить часто встречающиеся в экспериментальной практике различия в измерениях сил и моментов, действующих на профиль на режимах взлета и посадки при испытаниях на различных типах стендов. Предложен алгоритм расчета нестационарного отрывного обтекания профилей вблизи твердой поверхности. Алгоритм основан на сочетании метода дискретных особенностей и уравнений турбулентного пограничного слоя. Задача решалась в нестационарной постановке. На каждом временном шаге метод дискретных вихрей применялся для расчета невязкого течения во внешней по отношению к профилям области (давлений и скоростей на профилях и экране) и определения динамики движения вихрей следа. Уравнения турбулентного пограничного слоя использовались для расчета положений точек отрыва на профилях и экране и интенсивностей сходящих в этих точках вихрей. Предложенный алгоритм позволяет с помощью численной визуализации понять физическую картину течения в приэкранной области. Моделирование экрана тремя различными способами зеркальный метод, неподвижный и подвижный экраны - дало возможность проследить процесс возникновения отрыва, который определяет распределение давления на профиле и, следовательно, влияет на аэродинамические характеристики, для каждой модели экрана. По результатам расчетов дан сравнительный анализ этих способов моделирования профиля над экраном, который позволяет утверждать, что аэродинамические характеристики профилей при малых высотах над экраном существенно зависят от модели экрана. Зеркальный метод дает завышенное значение подъемной силы по сравнению с прямым методом, а результаты расчетов в обращенном движении при малых высотах над экраном дают заниженные результаты. Полученные данные могут быть использованы при проектировании стендов для испытания моделей в аэродинамических трубах.

Опыт создания ударных беспилотных самолетов свидетельствует о том, что основные проблемы разработки беспилотных летательных аппаратов заключаются в создании систем, заменяющих летчика как датчика и как оператора управления. Частично эта проблема решается за счет дистанционного управления. Однако существуют этапы полета, где в силу различных причин (дефицит времени, быстротечность, отсутствие устойчивой связи и т. п.) полет возможен только при полностью автономном управлении и информационном обеспечении. К ним относится и ближний маневренный воздушный бой (БМВБ) - ключевой с точки зрения предназначения истребителя и предъявляющий максимальные требования к его облику этап полета. До последнего момента создание беспилотного самолета-истребителя было в принципе невозможно в силу отсутствия датчиков, способных обеспечить необходимый для автоматического управления самолетом в БМВБ уровень информации. Однако перспективы развития бортового оборудования (конформные антенны пассивного типа, оптиколокационные станции кругового обзора) указывают на возможность решения этой проблемы в ближайшей перспективе. А потому, на сегодняшний день, по сути, единственной принципиальной проблемой на пути создания беспилотного истребителя остается проблема создания алгоритмов автоматического траекторного управления для БМВБ. В работе представлена методика синтеза автоматического траекторного управления двухступенчатой динамической системой с целью выхода в заданные относительно преследуемого объекта условия. Приводятся некоторые результаты оценки влияния параметров алгоритмов управления на эффективность решения задачи преследования. На основании полученных результатов делается вывод о работоспособности предлагаемой методики и возможности ее использования для автоматизации управления беспилотным самолетом и организации группового взаимодействия в БМВБ.

В настоящее время в мире существует опыт использования учебно-боевого самолета в качестве легкого ударного самолета. Качество оценивания эффективности выполнения боевой задачи зависит от степени адекватности используемых для этого математических моделей. Известно, что эффективность выполнения боевой задачи во многом определяется маневренными возможностями самолета, которые реализуются наиболее полно в области предельных по углу атаки режимов полетов. В статье представлены результаты исследования влияние числа Рейнольдса, угла атаки и положения внешней подвески на параметры, характеризующие состояние отрывно-вихревого обтекания, проведенные с использованием программных комплексов Solid Works и Ansys Fluent. Приведены зависимости исследуемых параметров для стационарного и нестационарного случаев движения легкого ударного самолета. Исследовано влияние постоянных времени, характеризующих инерционность и затягивание процессов развития отрывного и восстановления безотрывного обтекания на состояние отрывно-вихревого обтекания. Рассмотрено влияние скорости изменения угла атаки на коэффициент подъемной силы легкого ударного самолета с внешними подвесками, обусловленное инерционностью и затягиванием процессов развития отрывного и восстановления безотрывного обтекания. В статье рассматривается созданная авторами математическая модель движения легкого ударного самолета с внешними подвесками при выполнении им маневра в вертикальной плоскости, учитывающая особенности отрывно-вихревого обтекания. С использованием данной модели получены параметры траектории движения при выводе легкого ударного самолета из пикирования с использованием больших углов атаки. Показано, что не учет особенностей отрывно-вихревого обтекания в модели движения легкого ударного самолета приводит к некоторому увеличению потери высоты при выводе из маневра, что в свою очередь делает возможным уменьшение высоты начала вывода из пикирования.

Дозвуковой принцип максимума справедлив для дозвуковых стационарных безвихревых течений газа. Со-гласно этому принципу, если модуль скорости не постоянен всюду, то его максимум достигается на границе и только на границе рассматриваемой области течения. Это свойство используется при разработке формы летатель-ных аппаратов с максимальным критическим значением числа Маха: считается, что если в набегающем потоке и на поверхности обтекаемого тела местное число Маха меньше единицы, то в течении нет звуковых точек. Известное доказательство дозвукового принципа максимума существенным образом опирается на предположение о том, что во всей рассматриваемой области течения давление является функцией плотности. Для идеального (роль диффузии молекул пренебрежимо мала) совершенного (закон Менделеева - Клапейрона) газа давление является функцией плотности, если во всей рассматриваемой области течения энтропийная функция постоянна. Приведен пример дозвукового стационарного безвихревого течения газа, в котором энтропийная функция имеет различные значения на разных линиях тока, а давление не является функцией плотности. Применение дозвукового принципа максимума к такому течению было бы необоснованно. Приведенный пример показывает содержательность вопроса о месте точек максимума модуля скорости дозвуковых стационарных безвихревых неизоэнтропийных течений газа. Для выяснения закономерностей расположения таких точек был проведен анализ полных (без каких-либо упрощающих допущений) уравнений Эйлера в общем пространственном случае. Предложено новое доказательство дозвукового принципа максимума. Это доказательство не опирается на предположение об изоэнтропийности. Тем самым показано, что требование изоэнтропийности можно исключить из условий дозвукового принципа максимума. Дозвуковой принцип максимума оказывается верным и для неизоэнтропийных дозвуковых стационарных безвихревых течений идеального совершенного газа.

Исследованию теплопроводности композитов посвящено значительное количество работ. Нами предложен новый подход к решению задачи об эффективной теплопроводности, использующий моделирование процесса теплопроводности броуновским движением виртуальных частиц тепла. При таком методе рассматривается оценка температуропроводности, теоретически вычисляемая для однородного материала, и статистически оценивается ее значение для композита. В настоящей работе сравниваются два метода нахождения эффективного коэффициента теплопроводности композитов при помощи моделирования процесса теплопроводности броуновским движением виртуальных частиц тепла. Рассмотрен композит с шаровыми включениями материала, имеющего теплоемкость и теплопроводность иные, чем у матрицы. В компьютерном эксперименте моделируется процесс теплопроводности через плоский слой композита, нагретый с одной стороны в начальный момент. Статистически находится либо смещение центра тепловой энергии, либо вероятность прохождения виртуальной частицы тепла через слой за некоторое время, чтобы найти доверительный интервал для эффективного коэффициента теплопроводности. Результаты сравниваются с теоретическими оценками, предложенными другими авторами.

Изучаются локальные симметрии обобщённого уравнения Прудмана-Джонсона. Симметрии дифференциального уравнения в частных производных могут использоваться для нахождения его инвариантных решений.В частности, если <р есть производящая функция симметрии для уравнения Н = 0, то ϕ-инвариантные решениясуть решения переопределённой совместной системы H = 0, ϕ = 0. Показано, что алгебра Ли локальных симмет-рий обобщённого уравнения Прудмана-Джонсона является бесконечной. Найдены некоторые случаи, когда редуцированное при помощи симметрий уравнение сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые интегрируются в квадратурах, что позволяет построить соответствующие точные решения. Дифференциальные накрытия (или структуры продолжения Волквиста-Истабрука, или представления нулевой кривизны, или интегрируемые расширения и так далее) весьма важны в геометрии уравнений в частных производных. Теория дифференциальных накрытий есть естественный язык для работы с обратной задачей теории рассеивания в случае солитонных уравнений, преобразований Бэклунда, операторов рекурсии, нелокальных симметрий и нелокальных законов сохранения, преобразований Дарбу и деформаций нелинейных уравнений. В последнем разделе статьи показано, что при некоторых значениях параметра, входящего в уравнение Прудмана-Джонсона, оно обладает дифференциальным накрытием. Это свойство также называется интегрируемостью по Лаксу.

Рассматривается поведение решений солитонного типа для уравнения КдВ-Бюргерса в диссипативно неоднородной среде. Солитон движется слева направо и не меняет своей формы. Солитоны с большей амплитудой по ширине меньше, и скорость их движения больше. Целью настоящего исследования является изучение поведения солитонов, которые при движении по недиссипативной среде натыкаются на (финитное или бесконечное) препятствие с постоянной диссипацией; можно представлять себе импульс света, встречающий на своём пути частично поглощающий слой. При моделировании рассматривался случаи с финитным диссипативным слоем, подобный, например, прохождению волны через стекло-воздух-стекло-воздух, а также прохождение из недиссипативной среды в диссипативную (подобие прохождения света из воздуха в воду). Предлагаемая работа является продолжением исследований авторов и Дубровина. Получены численные модели поведения волны при различных типах неоднородности. Диссипация приводит к ожидаемому уменьшению амплитуды, однако в случае финитных кусочно-постоянных вязких препятствий на пути волны возникают новые эффекты. После прохождения препятствия перед волной появляется небольшая рябь. Причём эта рябь распространяется впереди бегущей волны. При удалении основной волны от препятствия рябь удаляется от этой волны и становится более обширной. Итак, скорость движения ряби больше скорости движения основной волны, и рябь увеличивается по мере удаления от препятствия. Моделирование проводилось в среде Maple с использованием пакета PDETools. Отметим, что данные задачи вычислительно очень трудоёмки и требуют больших затрат машинного времени.

Рассматриваемая задача связана с проблемой безопасности полетов в зоне лесных пожаров. Известно, что прекратить пожар можно, сбив пламя, например, мощным потоком воздуха. Такой поток возникает за взрывной ударной волной. Естественно предположить, что для усиления воздействия взрывной волны можно использовать заряд взрывчатого вещества кольцевой формы. Ударная волна, возникающая при взрыве такого заряда, должна усиливаться по мере движения к центру и может служить средством транспортировки ингибирующей пыли в очаг пожара. Кроме того, возникающий после схлопывания сходящейся ударной волны сильный восходящий поток сможет поднять пыль на большую высоту и способствовать гашению пламени осаждающимся ингибитором на большой площади. Этот восходящий поток может оказаться опасным для летательных аппаратов, находящихся в небе над пожаром. Для выяснения ширины и высоты опасной для полетов зоны проводится численное моделиро- вание кольцевого взрыва и последующих за этим движений пылегазовых смесей. Газ считается идеальным и со- вершенным. Взрыв моделируется мгновенным повышением удельной внутренней энергии в кольцевой области на величину удельного тепловыделения взрывчатого вещества. Течение рассматривается как двумерное и осесиммет- ричное. Для описания движения неравновесной пылегазовой смеси в рамках модели взаимопроникающих конти- нуумов используются уравнения Эйлера в цилиндрической системе координат. Ось симметрии перпендикулярна поверхности, которая считается абсолютно жесткой и является границей расчетной области. На ней выставляется условие непротекания. Для численных расчетов используется метод С.К. Годунова с движущейся сеткой и явным выделением головной ударной волны в качестве границы зоны вычисления. Одна система линий расчетной сетки перемещается в соответствии с движением этой ударной волны, а другая остается неподвижной. Расчеты проведе- ны при различных величинах радиусов кольцевой области и размеров ее прямоугольного поперечного сечения. Численные результаты показывают, что кумуляция потока происходит вблизи оси симметрии, и в результате силь- ная ударная волна распространяется вверх вдоль оси симметрии, и частицы поднимаются высоко над поверхно- стью. Эти расчеты позволяют оценить для типичных ситуаций размеры опасной зоны.

Для алгебры Ли потоков на трехмерном торе с нестандартной скобкой Ли установлены некоторые свой- ства, в случае когда сумма присоединённого и коприсоединенного операторов на бесконечномерной алгебре Ли со скалярным произведением, имеет конечную норму. Точнее, для уравнения Ландау - Лифшица на трехмерном торе*установлено, что оператор Sm = (adm + adm ) / 2имеет конечную норму, хотя это не так для присоединённого дей-mствия admи коприсоединённого действия ad∗. Из этого выводится, что коэффициенты разложения решения поортонормированному базису собственных векторов оператора Лапласа удовлетворяют условию Липшица. Таким образом, для уравнения Ландау - Лифшица на трехмерном торе ситуация схожа с таковой для идеальной жидкости и уравнения Кортвега - де Фриза. С другой стороны, если для уравнений гидродинамики и уравнения Кортвега - де Фриза такой факт был установлен в общем виде, то для уравнения Ландау - Лифшица на трехмер- ном торе это выведено специальным способом, через вычисление структурных констант и матрицы коприсоеди- нённого действия на алгебре токов с нестандартной скобкой Ли.

В работе исследуются геометрические свойства сопряженных круговых дуг, соединяющих две точки на плоскости, с заданными в них направлениями касательных векторов. Показано, что пары сопряженных дуг с одинаковыми условиями в граничных точках образуют однопараметрическое множество гладких кривых, плотно заполняющих всю плоскость. Одним из основных свойств этого множества является то, что все точки сопряжения круговых дуг лежат на окружности, проходящей через изначально заданные точки. Радиус окружности зависит от направления касательных векторов. Любая точка этой окружности, названная в данной работе вспомогательной, однозначно определяет пару сопряженных дуг с заданными граничными условиями. Еще одно свойство вспомогательной окружности состоит в том, что она делит плоскость на две части. Дуги, выходящие из начальной точки, лежат вне круга, ограниченного этой окружностью, а дуги, приходящие в конечную точку - внутри него. Эти свойства положены в основу предложенного в данной статье метода построения сопряженных круговых дуг. Алгоритм достаточно простой и позволяет выполнить все необходимые построения, пользуясь только циркулем и линейкой. Рассмотрены два конкретных примера. Первый относится к задаче построения пары спряженных дуг с минимальным скачком кривизны при прохождении через точку сопряжения. Второй демонстрирует возможность построения гладкой кривой, проходящей через любые три точки на плоскости, при условии, что в начальной и конечной точках заданы направления касательных векторов. Предложенный метод построения сопряженных круговых дуг может найти применение при решении широкого круга задач, связанных с построением криволинейных контуров, например лекальных кривых в текстильной промышленности или в системах автоматизированного проектирования при программировании станков с числовым программным управлением.

Меры некомпактности - это, по сути, числовые характеристики ограниченных подмножеств метрического пространства, равные нулю на относительно компактных подмножествах. Впервые количественную характеристику степени некомпактности (меру некомпактности) подмножества метрического пространства ввел в рассмотрение К. Куратовский в 1930 г. в связи с задачами общей топологии. Существуют различные меры некомпактности. Меры некомпактности - это простой и удобный инструмент для решения различных задач. Поэтому теория мер некомпактности до сих пор интенсивно развивается, находит все новые и новые приложения в различных областях математики. Так, в предлагаемой работе меры некомпактности используются при исследовании неравенства, точнее, обобщения одного неравенства, встречающегося в многочисленных публикациях и имеющего широкое приложение. Например, в трудах таких авторов, как Ю.А. Дубинский, Ж.-Л. Лионс и Э. Мадженес, это неравенство доказывается для операторов вложения в банаховых пространствах (частном случае метрических пространств), затем используется для доказательства разрешимости нелинейных эллиптических и параболических уравнений. В отличие от этих авторов здесь при исследовании неравенства не предполагается компактность оператора вложения. Более того, в метрическом пространстве для аналога неравенства, записанного через произвольные числовые характеристики ограниченных подмножеств (не обязательно мер некомпактности), получены необходимые и достаточные условия справедливости этого аналога. Следствием полученного результата, в случае если числовая характеристика множества, на самом деле, мера некомпактности, является новый критерий компактности одного оператора (не обязательно линейного) при условии компактности другого.

Рассматривается задача оптимального управления эпидемией путём вакцинации и изоляции с учётом латентного периода. Минимизируется целевая функция - функционал, суммирующий затраты на лечение и профилактику эпидемии, а также учитывающий стоимость инфицированных людей, оставшихся на момент окончания управления Т, которые могут явиться источником новой эпидемии. На левом конце отрезка интегрирования заданы начальные условия - количество инфицированных и подверженных заражению в момент времени t, правый конецсвободный. Динамические ограничения записаны в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих скорость изменения числа подверженных заражению и числа уже зараженных. Причем рассматривается неоднородное общество, состоящее из четырех возрастных групп (младенцы, дошкольники, школьники, взрослые). В качестве управляющих функций взяты скорость вакцинации (число вакцинированных в единицу времени) и скорость изоляции. Имеются ограничения на управление сверху и снизу. Латентный период описывается константой h, и входит в уравнение, описывающее скорость инфицирования людей как запаздывание в аргументе t, то есть человек, находящийся в латентном периоде, заражает окружающих, не зная, что он уже болен. Для решения задачи записывается Принцип максимума Понтрягина, откуда видно, что управление является кусочно-постоянным. В работе приводится результат численной реализации дискретной задачи оптимального управления, сделаны выводы о том, что латентный период существенно влияет на рост заболеваемости и, как следствие, расходов на погашение эпидемии. Программа, написанная на языке программирования Delphi, дает возможность оценить масштабы эпидемии при различных начальных данных и ограничениях на управление, а также найти оптимальное управление, минимизирующее расходы на погашение эпидемии.

В работе исследуется упругий режим фильтрации нефти в грунте при аварии на нефтепроводе или нефтяной скважине, оцениваются масштабы загрязнения окружающей среды. Модель растекания и поглощения нефти грунтами строится на основе уравнения неразрывности и закона фильтрации Дарси, а также уравнений состояния, учитывающих сжимаемость среды от давления. Область фильтрации - это граница между загрязненным нефтью грунтом и воздухом. Область фильтрации нефти снизу ограничена поверхностью почвы, а сверху - свободной поверхностью, уравнение которой заранее неизвестно и подлежит определению. Рассматривается сценарий загрязнения почв от точечного источника, в качестве которого выступает место разрыва трубопровода или скважина. Получены предельные и приближенные оценки радиуса разлива нефти в зависимости от различных типов подстилающих поверхностей и характеристик нефти, а также условий окружающей среды. Рассчитана и приведена динамика свободной поверхности нефти в зависимости от радиуса растекания. Сделаны оценки временной продолжительности фильтрации нефти грунтом в зависимости от фракций нефти и типа почвы. Была рассчитана толщина пленки и площадь разлива нефти при условии постоянной скорости истекания нефти, горизонтальности подстилающей поверхности и близости давления в среде к нормальному. Для численной реализации построенной модели были рассмотрены различные сценарии разлива нефти. При заданных значениях температуры воздуха, пористости почвы и скорости фильтрации рассчитан радиус загрязнения в зависимости от фракции нефти, времени с момента аварии до момента устранения течи, а также скорости истечения нефти.

Работа посвящена анализу внутренних ставок обобщенных кредитных сделок при их досрочном погашении. При досрочном погашении долга заемщик выплачивает кредитору сумму денег, равную текущему балансу (состоянию ссудного счета). После этого контракт завершается. На практике, однако, заемщик выплачивает кредитору сумму всех оставшихся невыплаченных погасительных платежей, а кредитор в свою очередь возвращает заемщику часть этой суммы. Для расчета этой возвращаемой части (доли) часто применяется приближенное правило 78. Дополнительные денежные траты заемщика, связанные с применением правила 78, могут рассматриваться как дополнительные штрафные санкции при досрочном погашении долга. Однако величина этих штрафных санкций в денежном выражении достигает максимальных значений, когда срок до погашения находится между 57 и 66 процентами от общего срока кредита, что противоречит здравому смыслу.

Ситуация кардинально меняется, если на штрафные санкции смотреть с точки зрения внутренней процентной ставки, посредством которой также может определяться стоимость кредита. В этом случае, как было показано, процентная ставка может значительно превышать первоначально объявленную ставку. Величина этого превышения монотонно растет с ростом числа невыплаченных платежей при досрочном погашении долга. Из этого следует, что и штрафные санкции, связанные с применением правила 78, монотонно возрастают. Это хорошо согласуется с самой идеей штрафных санкций с точки зрения кредитора. А именно, эти санкции должны становиться тем меньше, чем меньший срок остается до первоначальной даты погашения кредита.

Рассмотрена задача динамического управления риском инвестиционного портфеля с использованием фьючерсных контрактов. Управление основано на понятии эффективного портфеля, содержащего помимо базовых активов фьючерсные контракты на них. Эффективные портфели определяются как портфели минимальной дисперсии с ожидаемым доходом не ниже заданного. Динамическое управление портфеля предполагает выбор эффективного портфеля на каждом шаге, исходя из прогнозов изменений цен и их стандартных отклонений. Риск портфеля оценивается вероятностью потери определенной части стоимости портфеля. Управляющими параметрами является число фьючерсных контрактов по каждому активу портфеля, которое определяется из условия эффективности портфеля и приемлемости риска на каждом шаге.В работе приводятся эффективные стратегии адаптивного управления риском портфеля с учетом ожидаемого дохода и проведен их сравнительный анализ на конкретном примере. Сущность предлагаемого подхода является выделение кластеров волатильности изменения цен на горизонте инвестирования и адаптивная оценка корреляционных связей между изменениями цен активов.