ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЭПИДЕМИЕЙ С УЧЕТОМ ЛАТЕНТНОГО ПЕРИОДА

Рассматривается задача оптимального управления эпидемией путём вакцинации и изоляции с учётом латентного периода. Минимизируется целевая функция - функционал, суммирующий затраты на лечение и профилактику эпидемии, а также учитывающий стоимость инфицированных людей, оставшихся на момент окончания управления Т, которые могут явиться источником новой эпидемии. На левом конце отрезка интегрирования заданы начальные условия - количество инфицированных и подверженных заражению в момент времени t, правый конецсвободный. Динамические ограничения записаны в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих скорость изменения числа подверженных заражению и числа уже зараженных. Причем рассматривается неоднородное общество, состоящее из четырех возрастных групп (младенцы, дошкольники, школьники, взрослые). В качестве управляющих функций взяты скорость вакцинации (число вакцинированных в единицу времени) и скорость изоляции. Имеются ограничения на управление сверху и снизу. Латентный период описывается константой h, и входит в уравнение, описывающее скорость инфицирования людей как запаздывание в аргументе t, то есть человек, находящийся в латентном периоде, заражает окружающих, не зная, что он уже болен. Для решения задачи записывается Принцип максимума Понтрягина, откуда видно, что управление является кусочно-постоянным. В работе приводится результат численной реализации дискретной задачи оптимального управления, сделаны выводы о том, что латентный период существенно влияет на рост заболеваемости и, как следствие, расходов на погашение эпидемии. Программа, написанная на языке программирования Delphi, дает возможность оценить масштабы эпидемии при различных начальных данных и ограничениях на управление, а также найти оптимальное управление, минимизирующее расходы на погашение эпидемии.

оптимальное управление эпидемией, латентный период, вакцинация и изоляция, минимизация затрат на погашение эпидемии

1. Andreeva E.A. Optimal'noe upravlenie dinamicheskimi sistemami [Optimal control of dynamic systems]. Tver, TvGU Publ., 1999, pp. 72-120. (in Russian)

2. Andreeva E.A., Kolmanovskij V.B., Shejhet L.E. Upravlenie sistemami s posledejstviem [Control systems with aftereffect]. Moscow, Nauka Publ, 1992. (in Russian)

3. Haratishvili G.L. Princip maksimuma v teorii optimal'nyh processov s zapazdyvaninem [The maximum principle in the theory of optimal processes with retardation]. Report of the USSR Academy of Sciences. 1961, vol. 136, no. 1, pp. 39-41. (in Russian)

4. Informacionnyj bjulleten' «Vakcinacija. Novosti vakcinoprofilaktiki» [Information bulletin "Vaccination. News of vaccinal prevention»]. Moscow, May/June 2003, vol. 3 (27)

5. Andreeva E.A., Semykina N.A. Optimal'noe upravlenie [Optimal control]. Tver, Tver branch of MESI, 2006, pp. 184-211. (in Russian)

6. Kolmanovskij V.B. Ob approksimacii linejnyh upravljaemyh sistem s posledejstviem [About approximation of linear control systems with delay]. Problemy upravlenija i teorii informacii [Problems of control and information theory]. 1974, vol. 3, no.1. (in Russian)

7. Andreeva E.A., Ciruleva V.M. Variacionnoe ischislenie i metody optimizacii [The calculus of variations and optimization methods]. Orenburg-Tver, 2005. (in Russian)

8. Mihlin S.G., Smolickij H.L. Priblizhjonnye metody reshenija differencial'nyh uravnenij [Approximate methods of solving differential equations]. Reference mathematical library edited by Lyusternik L.A. and Yanpolskii A.R. Moscow, Science Publ., Main edition of Physical and Mathematical Literature, 1965. (in Russian)

9. Bahvalov N.S. Chislennye metody, t. 1 [Numerical methods, vol. 1]. Moscow, Nauka Publ., Main edition of Physical and Mathematical Literature, 1975

10. Evtushenko Ju.G. Metody reshenija jekstremal'nyh zadach i ih primenenie v sistemah optimizacii [Methods of solution of extremal problems and their application in optimization systems]. Moscow, Nauka Publ., 1982. (in Russian)