ОПТИМИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК УПРАВЛЕНИЙ

Предлагается спектральный метод нахождения оптимального в среднем управления при неполной информации о векторе состояния для многомерных нелинейных непрерывных стохастических систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями Ито. Критерий качества задается в виде среднего значения функционала, определенного на траекториях системы. Ищется управление, зависящее от времени и координат вектора состояния, о которых известна точная информация, поступающая от измерительной системы. Решение задачи поиска оптимального управления опирается на известные достаточные условия оптимальности и следующие из них соотношения. Эти соотношения для определения оптимального управления нелинейными непрерывными стохастическими системами при неполной информации о векторе состояния (система уравнений Фоккера - Планка - Колмогорова и Беллмана, а также связывающие их соотношения, позволяющие определить структуру управления) с помощью спектрального преобразования обычно сводятся к системе нелинейных уравнений для коэффициентов разложения координат оптимального управления и оптимальной плотности вероятности вектора состояния в ряды по функциям некоторой базисной системы. Методика решения этой системы нелинейных уравнений не зависит от выбранного базиса, решение осуществляется либо итерационными методами, либо методом сведения к эквивалентной задаче безусловной оптимизации с последующим применением методов нулевого порядка, в том числе метаэвристических методов поиска глобального экстремума. В представленной статье задача нахождения оптимального управления сводится к задаче оптимизации в пространстве спектральных характеристик управлений (в пространстве коэффициентов разложения управлений по функциям заданной ортонормированной системы). Как частный случай обсуждается решение проблемы учета так называемых геометрических ограничений на управление. При применении спектральной формы математического описания необходимо усекать спектральные характеристики функций, операторов и функционалов до некоторых выбранных порядков, переходя, таким образом, к конечномерным задачам оптимизации. Выбор порядков усечения, а также выбор базисных систем определяют точность приближенного решения задачи оптимального управления.

оптимальное управление, оптимизация, неполная информация, спектральный метод, спектральное преобразование, спектральная характеристика, спектральная форма математического описания, сто- хастическая система

1. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971

2. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978

3. Казаков И.Е., Гладков Д.И. Методы оптимизации стохастических систем. М.: Наука, 1987

4. Румянцев Д.C., Хрусталев М.М. Численные методы синтеза оптимального управления для стохастических динамических систем диффузионного типа // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 3. С. 27-38

5. Гусев C.А. Минимизация дисперсии оценки математического ожидания функционала диффузионного процесса на основе параметрического преобразования параболической краевой задачи // Сибирский журнал вычислительной математики. 2011. Т. 14, № 2. С. 141-153

6. Пантелеев А.В. Применение эволюционных методов глобальной оптимизации в задачах оптимального управления детерминированными системами. М.: Изд-во МАИ, 2013

7. Пантелеев А.В., Cкавинская Д.В., Алешина Е.А. Метаэвристические алгоритмы поиска оптимального программного управления. М.: ИНФРА-М, 2016

8. Cолодовников В.В., Cеменов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974

9. Cеменов В.В. Уравнение обобщенной характеристической функции вектора состояния систем автоматического управления // Аналитические методы синтеза регуляторов. Вып. 2. Саратов: СПИ, 1977. С. 3-36

10. Cеменов В.В. Синтез алгоритмов управления нелинейными системами при случайных воздействиях с ограниченным составом точных измерений // Аналитические методы синтеза регуляторов. Вып. 3. Саратов: СПИ, 1978. С. 3-20

11. Лапин C.В., Егупов Н.Д. Теория матричных операторов и ее приложение к задачам автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997

12. Пупков К.А., Егупов Н.Д., Трофимов А.И. Статистические методы анализа, синтеза и идентификации нелинейных систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998

13. Пантелеев А.В., Рыбаков К.А. Синтез оптимальных нелинейных стохастических систем управления спектральным методом // Информатика и ее применения. 2011. Т. 5, Вып. 2. С. 69-81

14. Пантелеев А.В., Рыбаков К.А. Методы и алгоритмы синтеза оптимальных стохастических систем управления при неполной информации. М.: Изд-во МАИ, 2012

15. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977

16. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978

17. Yong J., Zhou X.Y. Stochastic controls: Hamiltonian systems and HJB equations. Springer, 1999

18. Fleming W.H., Soner H.M. Controlled Markov processes and viscosity solutions. Springer, 2006

19. Пантелеев А.В. Достаточные условия оптимальности управления непрерывными стохастическими системами по неполному вектору состояния // Известия вузов. Математика. 1990. № 11. С. 50-61

20. Cавастюк C.В., Хрусталев М.М. Оптимизация стохастических систем диффузионного типа с ограничениями на процесс управления-наблюдения // Автоматика и телемеханика. 1991. № 7. С. 89-96; № 8. С. 94-100

21. Плотников М.Ю., Хрусталев М.М. Условия глобальной оптимальности стратегий управления диффузионными процессами с возможностью обрыва траекторий при неполной информации о состоянии // Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. № 1. C. 40-47

22. Пантелеев А.В., Рыбаков К.А., Cотскова И.Л. Спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем управления. М.: Вузовская книга, 2015

23. Рыбаков К.А., Рыбин В.В. Моделирование распределенных и дробно-распределенных процессов и систем управления спектральным методом. М.: Изд-во МАИ, 2016

24. Рыбаков К.А. Построение множества допустимых управлений в спектральной форме математического описания // Вычислительные технологии. 2015. Т. 20, № 3. С. 58-74

25. Рыбаков К.А. Спектральные аналоги множества допустимых управлений для финитных базисных систем // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2016. № 2. С. 40-71

26. Рыбаков К.А. Многопараметрические базисные системы для представления функций в неограниченных областях // Научный Вестник МГТУ ГА. 2013. № 195 (9). С. 45-50