О БЕСКОНЕЧНЫХ СЕРИЯХ НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Популярное в математике понятие интегрируемости дифференциальных уравнений (и столь же разнообразно трактуемое) тесно связано с существованием симметрий и законов сохранения. Все известные интегрируемые дифференциальные уравнения обладают бесконечными сериями симметрий и (или) законов сохранения. Однако также имеется целый ряд уравнений, важных для приложений, но имеющих крайне скудный запас симметрий или законов сохранения. Попытки расширить понятия симметрии и закона сохранения предпринимались разными авторами, и на эту тему имеется обширная литература. В данной статье представлен следующий результат. Если ℓ-нормальная система дифференциальных уравнений в частных производных имеет когомологически нетривиальный закон сохранения, то этот закон сохранения порождает бесконечную серию нелокальных законов сохранения. Этот факт обобщает аналогичный результат статьи автора для дифференциальных уравнений (не систем). Результат получен в рамках геометрической теории дифференциальных уравнений в частных производных. Согласно геометрическому подходу, многообразие, снабженное конечномерным распределением, удовлетворяющим условиям интегрируемости Фробениуса, называется диффеотопом (diffiety), если локально оно имеет вид бесконечно продолженного уравнения Ɛ^∞. Диффеотопы являются объектами категории дифференциальных уравнений, введенной А.М. Виноградовым. Под симметриями уравнения понимают преобразования (конечные или инфинитизимальные) бесконечного продолжения уравнения, которые сохраняют распределение Картана, а под законами сохранения – (n-1)-e классы когомологий горизонтального комплекса де Рама уравнения, где n – число независимых переменных уравнения. Накрытием называется эпиморфизм  τ:Ɛ⟶ Ɛ^∞ в категории дифференциальных уравнений, порождающий изоморфизм распределений. Симметрии и законы сохранения диффеотопа Ɛ называются нелокальными симметриями и законами сохранения уравнения Ɛ  Выбор подходящего накрытия позволяет получать новые (нелокальные) симметрии и законы сохранения исследуемого уравнения. В работе приведена конструкция одного накрытия и доказано существование бесконечных серий нелокальных законов сохранения у широкого класса систем дифференциальных уравнений в частных производных.

1. Бочаров А.В. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А.М. Вербовецкий, А.М. Виноградов, С.В. Дужин, И.С. Красильщик, Ю.Н. Торхов, А.В. Самохин, Н.Г. Хорькова, В.Н. Четвериков. 2-е изд. М.: Факториал-Пресс, 2005. 380 с.

2. Symmetries and Conservation Laws for Differential Equation of Mathemetical Phisics // Translations of Mathematical Monographs / A.V. Bocharov and etc. Providence, RI: AMS, 1999. Vol. 182. 333 p.

3. Виноградов А.М. Интегрируемость и симметрии // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987. С. 279–290.

4. Vinogradov A.M. Local symmetries and conservation laws // Acta Appl. Math. 1984. Vol. 2, No. 1. Pp. 21–78.

5. Vinogradov A.M. The ࣝ- spectral sequence, Lagrangian formalism, and conservation laws // J. Math. Anal. Appl. 1984. Vol. 100, No. 3. Pp. 1–129.

6. Krasilshchik I.S., Vinogradov A.M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Bäcklund transformations // Acta Appl. Math. 1989. Vol. 15. Pp. 161–209.

7. Хорькова Н.Г. Законы сохранения и нелокальные симметрии // Математические заметки. 1988. Т. 44. С. 134–144.

8. Хорькова Н.Г. Законы сохранения и нелокальные симметрии // Труды МВТУ. 1988. № 512. С. 105–119.

9. Kiso K. Pseudopotentials and symmetries of evolution equation: preprint. 1986. 18 p.

10. Kiso K. Pseudopotentials and symmetries of evolution equation // Hokkaido Math. J. 1989. Vol. 18, No. 1. Pp. 125–136.

11. Khor’kova N.G. On some constructions in the nonlocal theory of partial differential equations // Differential Geometry and its Appl. 2017. Vol. 54. Pp. 226–235.

12. Sokolov V.V., Shabat A.B. Classification of integrable evolution equations // Sov. Scientific Rev. Section C. New York: Hardwood Acad. Publ., 1984. Vol. 4. Pp. 221–280.

13. Konopelchenko B.G. Nonlinear integrable equations (Recursion operators, group-theoretical ang Hamilton structures of soliton equations) // Lecture Notes in Physics. Vol. 270. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

14. CRC handbook of Lie group to differential equations. Vol. 1. Symmetries, exact solutions and conservation laws / Ed. N.H. Ibragimov. Boca Raton: CRC Press, 1994.

15. CRC handbook of Lie group to differential equations. Vol. 2. Applications in engineering and physical sciences / Ed. N.H. Ibragimov. Boca Raton: CRC Press, 1995.