ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ УРАВНЕНИЯ ЛАНДАУ – ЛИФШИЦА НА ТРЕХМЕРНОМ ТОРЕ

Рассматривается уравнение Ландау – Лифшица на трехмерном торе. Уравнение приводится к форме уравнения Эйлера на геодезические левоинвариантной метрики в бесконечномерной алгебре Ли группы токов. Группа токов задается поточечным отображением трехмерного тора в трехмерную ортогональную группу. В алгебре Ли используется введенный ранее нестандартный коммутатор. Решения уравнения Ландау – Лифшица разлагаются по ортонормированному базису левоинвариантной метрики в алгебре токов. Для коэффициентов разложения решения уравнения Ландау – Лифшица в рамках построенной модели вычисляется явный вид эволюционных уравнений. Для этого используются полученные ранее выражения для сумм операторов присоединенного и коприсоединенного действия в бесконечномерной алгебре Ли токов с нестандартным коммутатором. Свойство компактности указанных операторов суммы позволяет получить асимптотическую форму уравнения Ландау – Лифшица на трехмерном торе. Найдены эволюционные уравнения на подпространство потоков, состоящее из векторных полей, чьи Фурье-разложения содержат только простые гармоники вида cos . kf Такие векторные поля составляют подалгебру алгебры токов, которая является также замкнутой относительно действия коприсоединенных операторов. В таком случае произвольное уравнение Ландау – Лифшица, для которого вектор начальных условий лежит в этой подалгебре, останется в ней для всех t, для которых это решение определено. Отметим, что для изучения уравнения Ландау – Лифшица алгебра токов со стандартным коммутатором оказалась неэффективной: в частности, уравнение Ландау – Лифшица не является уравнением Эйлера на алгебре токов со стандартным коммутатором. Таким образом, для уравнения Ландау – Лифшица на трехмерном торе вычислен явный вид эволюционных уравнений на коэффициенты Фурье-разложений его решений при помощи операторов, представляющих собой сумму операторов присоединенного и коприсоединенного действия алгебры токов на трехмерном торе с нестандартным коммутатором. При этом именно свойство компактности указанных операторов суммы (в то время как по отдельности их составляющие оператор присоединенного и оператор коприсоединенного действий не являются даже непрерывными) позволило получить указанную асимптотическую форму.

1. Алексовский В.А., Лукацкий А.М. Нелинейная динамика намагниченности ферромагнетиков и движение обобщенного твердого тела с группой токов // Теоретическая и математическая физика. 1990. Т. 85, № 1. С. 115–123.

2. Lukatsky A.M. On the geometry of current group and a model of the Landau Lifschitz equation // Lie groups and Lie Algebras / B.P. Komrakov et al.(eds.). Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1998. Pp. 425–433.

3. Арнольд В.И., Хесин Б.А. Топологические методы в гидродинамике. М.: МЦНМО, 2007. 392 с.

4. Хесин Б.А., Вендт Р. Геометрия бесконечномерных групп. Топологические методы в гидродинамике. М.: МЦНМО, 2014. 368 с.

5. Лукацкий А.М. Структурно-геометрические свойства бесконечномерных групп Ли в применении к уравнениям математической физики. Ярославль: ЯрГУ им. П.Г. Демидова, 2010. 175 с.

6. Лукацкий А.М. О структуре действия коприсоединенного оператора на алгебре токов трехмерного тора // Научный Вестник МГТУ ГА. 2017. Т. 20, № 02. С. 117–125.

7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

8. Lukatskii A.M. On the structure of spherical Lie vector fields and groups of diffeomorphisms and // Siberian Math. Zh. 1977. T. 28, No. 1. Pp. 161–173.

9. Temam R. Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis // North Holland Publ. Comp., 1979.

10. Hirzebruch F. Topological Methods in Algebraic Geometry. 3rd ed. SpringerVerlag, 1966.