Preview

Научный вестник МГТУ ГА

Расширенный поиск

ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ СИСТЕМЫ ДВУХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

https://doi.org/10.26467/2079-0619-2018-21-2-51-58

Полный текст:

Аннотация

Проводится анализ применимости метода «ручного» интегрирования В.В. Лычагина к системам двух квазилинейных гиперболических дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными t,x и двумя неизвестными функциями  и=и(t,x) и v=v(t,x). Рассматриваемые системы являются частным случаем систем Якоби, для которых В.В. Лычагиным был предложен аналитический способ решения начально-краевой задачи. Каждому из уравнений системы ставится в соответствие дифференциальная 2-форма на четырехмерном пространстве. Эта пара форм однозначно определяет поле линейных операторов, которое для гиперболических уравнений порождает структуру почти произведения. Это означает, что касательное пространство четырехмерного пространства в каждой точке является прямой суммой двумерных собственных подпространств данного оператора и, таким образом, определены два двумерных распределения. Если хотя бы одно из этих распределений вполне интегрируемо, то можно построить векторное поле, сдвиги вдоль которого сохраняют решение исходной системы уравнений. Таким образом, решение начально-краевой задачи для рассматриваемой системы может быть получено аналитически с помощью сдвига начальной кривой вдоль траекторий данного векторного поля. В качестве примера рассмотрена система уравнений Бакли – Леверетта, описывающая процесс нелинейной одномерной двухфазной фильтрации в пористой среде. Для построения решения задачи Коши выбирается кривая начальных данных; график решения системы Бакли – Леверетта получается сдвигом этой кривой вдоль траекторий векторного поля (это векторное поле определено с точностью до умножения на функцию). Сечения компоненты этого графика для раз- личных моментов времени представлены на рисунке. На графике видно, что в какой-то момент времени решение перестает быть однозначным. В этот момент у решения происходит разрыв и возникает ударная волна.

 

Об авторе

А. А. Горинов
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,г. Москва
Россия
младший научный сотрудник


Список литературы

1. Ахметзянов А.В., Кушнер А.Г., Лычагин В.В. Математические модели управления разработкой нефтяных месторождений. М.: ИПУ РАН, 2017. 124 с.

2. Akhmetzianov A.V., Kushner A.G., Lychagin V.V. Integrability of Buckley-Leverett’s Filtration Model // IFAC-PapersOnLine. 2016. Vol. 49, Issue 12. Pp. 1251–1254.

3. Kushner A.G., Lychagin V.V., Rubtsov V.N. Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia Math. Its Appl., 101. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. xxii+496 p.

4. Lychagin V.V. Singularities of multivalued solutions of nonlinear differential equations and nonlinear Phenomena // Acta Appl. Math. 1985. Vol. 3. Pp. 135–173.

5. Lychagin V.V. Lectures on geometry of differential equations. Vol. 1, 2. Rome: La Sapienza, 1993.

6. Kushner A.G., Lychagin V.V. Feedback invariants of control hamiltonian Systems // IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline): World Congress. Montreal: Elsevier, 2015. Vol. 48, No. 3. Pp. 1273–1275.

7. Lychagin V.V., Yumaguzhin V.A. Differential invariants and exact solutions of the Einstein equations // Analysis and Mathematical Physics. 2016. Vol. 7, No. 2. С. 107–115.

8. Lychagin V.V., Yumaguzhin V.A. Natural spinor structures over Lorentzian manifolds // Journal of Geometry and Physics. 2016. Vol. 106. Pp. 1–5.

9. Akhmetzyanov A.V., Kushner A.G., Lychagin V.V. Integrable Models of Oil Displacement // IFAC-PapersOnLine. 2015. Vol. 48, Issue 3. Pp. 1264–1267.

10. Konovenko N.G., Lychagin V.V. Lobachevskian geometry in image recognition // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2015. Vol. 36, No. 3. Pp. 286–291.


Для цитирования:


Горинов А.А. ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ СИСТЕМЫ ДВУХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Научный вестник МГТУ ГА. 2018;21(2):51-58. https://doi.org/10.26467/2079-0619-2018-21-2-51-58

For citation:


Gorinov A.A. ABOUT ANALYTICAL METHOD FOR SOLVING THE CAUCHY PROBLEM OF TWO QUASILINEAR HYPERBOLIC EQUATIONS SYSTEM. Civil Aviation High TECHNOLOGIES. 2018;21(2):51-58. (In Russ.) https://doi.org/10.26467/2079-0619-2018-21-2-51-58

Просмотров: 57


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2079-0619 (Print)
ISSN 2542-0119 (Online)