СИММЕТРИИ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ПО ЛАКСУ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ПРУДМАНА - ДЖОНСОНА

Изучаются локальные симметрии обобщённого уравнения Прудмана-Джонсона. Симметрии дифференциального уравнения в частных производных могут использоваться для нахождения его инвариантных решений.В частности, если <р есть производящая функция симметрии для уравнения Н = 0, то ϕ-инвариантные решениясуть решения переопределённой совместной системы H = 0, ϕ = 0. Показано, что алгебра Ли локальных симмет-рий обобщённого уравнения Прудмана-Джонсона является бесконечной. Найдены некоторые случаи, когда редуцированное при помощи симметрий уравнение сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые интегрируются в квадратурах, что позволяет построить соответствующие точные решения. Дифференциальные накрытия (или структуры продолжения Волквиста-Истабрука, или представления нулевой кривизны, или интегрируемые расширения и так далее) весьма важны в геометрии уравнений в частных производных. Теория дифференциальных накрытий есть естественный язык для работы с обратной задачей теории рассеивания в случае солитонных уравнений, преобразований Бэклунда, операторов рекурсии, нелокальных симметрий и нелокальных законов сохранения, преобразований Дарбу и деформаций нелинейных уравнений. В последнем разделе статьи показано, что при некоторых значениях параметра, входящего в уравнение Прудмана-Джонсона, оно обладает дифференциальным накрытием. Это свойство также называется интегрируемостью по Лаксу.

обобщённое уравнение Прудмана-Джонсона, дифференциальное накрытие, локальные симметрии, инвариантные решения, преобразование Бэклунда

1. Proudman I., Johnson K. Boundary-layer growth near a rear stagnation point. J. Fluid Mech, 1962, pp. 161-168

2. Okamoto H., Zhu, J. Some similarity solutions of the Navier-Stokes equations and related topics. Taiwanese J. Math, 2000, A, pp. 65-103

3. Chen X., Okamoto H. Global existence of solutions to the Proudman-Johnson equation. Proc. Japan Acad. 2000. pp. 149-152

4. Chen X., Okamoto H. Global existence of solutions to the generalized Proudman-Johnson equation. Proc. Japan Acad., 2002. A, pp. 136-139

5. Morozov O.I. Contact equaivalence of the generalized Hunter-Saxton and the Euler-Poisson equation. 2004. Preprint www.arXiv.org: math-ph/0406016/

6. Morozov O.I. Linearizability and integrability of the generalized Calogero-Hunter-Saxton equation. Scientific Bulletin of the Moscow State Technical University of Civil Aviation, 2006, issue 114, pp. 34-42. (in Russian)

7. Krasil’shchik I.S., Vinogradov A.M. Nonlocal symmetries and the theory of coverings. Acta Appl. Math. 1984, pp. 79-86

8. Krasil’shchik I.S., Lychagin V.V., Vinogradov A.M. Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. Gordon and Breach, New York. 1986

9. Krasil’shchik I.S., Vinogradov A.M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Bäcklund transformations. Acta Appl. Math. 1989, pp. 161-209

10. Beals R., Sattinger D.H., Szmigielski J. Inverse scattering solutions of the Hunter-Saxton equation. Applicable Analysis, 2001, issue 3-4, pp. 255-269

11. Reyes E.G. The soliton content of the Camassa-Holm and Hunter-Saxton equations. Proceedings of Institute of Math., NAS of Ukraine, 2002, Part I, pp. 201-208

12. Baran H., Marvan M. Jets. A software for differential calculus on jet spaces and diffieties. Available online at http://jets.math.slu.cz

13. Abramowitz M., Stegun I.A., (Eds). Handbook of mathematical functions, 10th print, National Bureau of Standards, 1972

14. Whittaker E.T., Watson G.N. A course of modern analysis. 4th Edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1927, Reprinted 2002

15. Kovacic J. An algorithm for solving second order linear homogeneus differential equations, J. Symbolic Comput, 1986, pp. 3-43

16. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations. J. Math. Phys., 1975, vol. 16, no. 1, pp. 1-7

17. Zakharov V.E., Shabat A.B. Integration of nonlinear equations of mathematical physics by the method of inverse scattering, II, Funct. Anal. Appl, 1980, pp. 166-174

18. Bryant R.L., Griffiths Ph.A. Characteristic cohomology of differential systems (II): conservation laws for a class of parabolic equations, Duke Math. J., 1995, pp. 531-676