Метод расчета устойчивости обшивок хвостовых отсеков лопастей несущего винта под действием ветра на стоянке вертолета

Введение

Процесс проектирования лопастей несущего винта вертолета включает в себя этапы по выбору параметров хвостовых отсеков. Как установлено в работе [1], при выборе данных параметров помимо полетных случаев нагружения [2][3] необходимо учитывать и наземные случаи нагружения. Одним из них является ветровое нагружение, характеристики которого должны быть заданы в техническом задании на проектируемую лопасть. Анализ напряженно-деформированного состояния обшивок хвостовых отсеков невращающейся лопасти под действием ступенчатого порыва ветра [1] показал, что действующие вдоль задней стенки лонжерона сжимающие продольные напряжения в обшивке могут приводить к образованию зоны местной потери устойчивости [4–6]. Недопустимость местной потери устойчивости обшивок обусловлена их сопутствующим отслоением от заполнителя хвостового отсека, при достижении критической величины которого дальнейшая эксплуатация лопасти без восстановительного ремонта становится небезопасной.

Исходя из этого, для рационального выбора параметров хвостовых отсеков на этапе проектирования лопасти необходимо иметь метод, позволяющий выполнять расчет на местную устойчивость обшивок хвостовых отсеков ЛНВ, подверженных воздействию ветра, для чего в данной работе изложен метод, построенный на поочередном расчете напряжений в лонжероне [7] и обшивке [1] лопасти под действием ветра, сравнении полученных напряжений с критическими напряжениями, рассчитанными по формулам, полученным в настоящей работе.

Вывод дифференциального уравнения устойчивости обшивки

Рассмотрим разрезной хвостовой отсек ЛНВ [8], конструктивно образованный склейкой ограниченного по ширине торцевыми нервюрами заполнителя с верхней и нижней обшивками, замыкающимися стрингером (рис. 1). Будем полагать, что нагружение обшивок происходит вследствие деформаций лопасти, к лонжерону которой они приклеены. 

Для вывода дифференциального уравнения устойчивости обшивки используем систему дифференциальных уравнений, описывающую НДС обшивки рассматриваемого хвостового отсека [1]:

             (1)

где u и v – перемещения пластины по осям Ox и Oy.

В системе (1) перейдем от погонных усилий к напряжениям, выполнив соответствующие замены, используя равенства N_x =σ_x · δ, N_y = σ_y · δ, N_xy = τ_xy · δ, где δ – толщина пластины в рассматриваемой точке, σ_x и σ_y – нормальные напряжения по осям Ox и Oy, τ_xy – напряжения сдвига.

Граничные условия для уравнений (1) представлены на рис. 2 и определяются соотношениями [1]

               при x = 0, L → σ_x = 0; τ_xy = 0;

               при y = H → σ_y = 0; τ_xy = 0;

где  – напряжения в лонжероне в месте приклейки обшивки, обусловленные воздействием ветра [7];  – коэффициент Пуассона лонжерона; L – длина обшивки; H – ширина обшивки. Таким образом, сопряженная с лонжероном грань обшивки имеет совместные с ним деформации, а остальные грани обшивки свободно деформируются. Влияние заполнителя на НДС обшивки в (1) учитывается за счет наличия жесткостей C_x и C_y упругого основания.

Получим дифференциальное уравнение устойчивости для ортотропной пластины на упругом основании, исходя из предположения о возможности состояния равновесия пластины в искривленном состоянии. Данное состояние будем характеризовать прогибом w вдоль оси Oz. Допустим, что при изгибе пластины согласно гипотезам Кирхгофа [9][10] будет иметь место отсутствие деформаций поперечного сдвига:

           (2)

Тогда из зависимостей (2), принимая, что точки срединной поверхности перемещаются при изгибе только вдоль оси Oz, можно получить выражения

Связь деформаций пластины с перемещениями u и v устанавливается через формулы Коши 

          (3)

Для ортотропной пластины действующие в ее плоскости напряжения с учетом равенства нулю напряжений в направлении оси Oz, то есть σ_z = 0, определяются зависимостями обобщенного закона Гука в виде [11–13]

                   (4)

Упругие постоянные материала e₁₁, e₁₂, e₁₃, e₂₂, e₂₃, e₃₃ [11–13], составляющие матрицу E коэффициентов жесткости, могут быть получены обращением матрицы податливостей A, то есть E = A⁻¹, которая имеет вид

где коэффициенты податливости матрицы A [1] – функции «технических» модулей упругости E_x, E_y, G, μ_x, η_x, η_y и угла φ ориентировки осей материала относительно расчетных осей Ox и Oy, определяются по формулам

,

Получим уравнения, связывающие погонные изгибающие и крутящий моменты с прогибом w вдоль оси Oz, для чего сначала подставим формулы (3) в зависимости (4):

     (5)

Далее перейдем к равнодействующим напряжений (5) по толщине пластины:

        (6)

Окончательно после интегрирования выражений (6) с учетом (5) получим

     (7)

Перерезывающие силы Q_x и Q_y, действующие в сечениях пластины, выражаются через w из уравнения равновесия элемента пластины в проекции на ось Oz [9] [10], которое для условий настоящей задачи имеет вид

             (8)

где Z_Q – проекция перерезывающих сил, а – проекции сил начального состояния. Согласно [9] имеем

   (9)

Аналогично выражениям для  можно получить выражения для  :

   (10) 

Выражение для Ζ_Ρ получим исходя из предположения о том, что заполнитель является легким, а также маложестким в направлении оси Oz, и при потере устойчивости происходит выпучивание несущих слоев – обшивок. При этом роль заполнителя сводится исключительно к работе на сдвиг, то есть обеспечению совместной работы обшивок, воспринимающих продольные силы и моменты. Будем предполагать основание линейно упругим. Тогда давление P, действующее со стороны заполнителя на обшивку, пропорционально ее прогибу w:

      (11)

Применим закон Гука для столбика заполнителя единичной площади высотой h_з нагруженного давлением P, тогда получим выражение для его укорочения, равного прогибу w:

      (12)

Высоту сотового заполнителя h_з, как и в [1], примем в виде квадратичной функции, изменяющейся вдоль оси Oy [1]:

       (13)

где h₀ – высота хвостового отсека в месте приклейки к задней стенке лонжерона, h_ср – высота хвостового отсека посередине ширины хвостового отсека.

Сопоставляя выражения (11) и (12), с учетом (13) получаем, что

Искомое выражение для   имеет вид

          (14)

Подставив выражения (9), (10) и (14) в уравнение (8), получим уравнение равновесия элемента пластины

         (15)

Учитывая, что выражения, записанные в скобках уравнения (15), равны нулю в силу соотношений (1), окончательно получим

       (16)

Связь между перерезывающими силами и моментами для рассматриваемого случая нагружения пластины определяется уравнениями

         (17)

Подставив уравнения (17) и (7) в (16), получим дифференциальное уравнение устойчивости ортотропной пластины на упругом основании:

          (18)

Определение критических напряжений, соответствующих местной потере устойчивости обшивки

При решении задачи о потере устойчивости пластины предполагается, что до потери устойчивости она является плоской [13]. В таком случае все силы, действующие на пластину, действуют по ее срединной поверхности и при деформациях пластины не изменяются ни по величине, ни по направлению. То есть докритическое напряженное состояние пластины является плоским.

Будем полагать, что докритические силы и перемещения для рассматриваемой задачи определяются из решения уравнений (1) методом [1], основанным на применении метода сеток [10][14].

В таком случае задача нахождения критических напряжений местной потери устойчивости должна решаться для элементарной прямоугольной пластинки, жестко защемленной по сторонам размерами l_i и h_j, полученной путем разбиения расчетной области обшивки ортогональной сеткой (i – номер узла сетки по оси Oy, j – номер узла по оси Ox). Далее индексы i и j всюду, за исключением некоторых выражений, для удобства восприятия опущены. Расчетная область обшивки [1] представлена на рис. 3. 

По найденным в результате решения системы уравнений (1) перемещениям u и v определяются действующие в обшивке напряжения σ_x, σ_y и τ_xy. Для определения критических напряжений местной потери устойчивости удобно перейти от рассмотрения плоского напряженного состояния, определяемого напряжениями σ_x, σ_y и σ_xy, к главным напряжениям σ_ξ и σ_η, определяемым по формулам [15]

Ориентация главных напряжений относительно системы координат Oxy определяется поворотом исходной на угол:

Тогда в рассматриваемой задаче на каждую пластинку действуют распределенные по ее краям сжимающие усилия N_ξ = δ · σ_ξ и растягивающие усилия N_η = δ · σ_η.

Таким образом, уравнение местной потери устойчивости (18) примет вид

 (19)

Для определения критических напряжений из уравнения (19) используем метод Бубнова – Галеркина [16]. Функция прогибов пластины должна удовлетворять граничным условиям жесткого защемления по контуру. В качестве аппроксимирующих функций w могут применяться простые ортогональные [17] и неортогональные полиномы [18][19] или тригонометрические ряды [20]. Зададим функцию прогибов w в виде

            (20)

где m и n – числа полуволн косинусоид в направлениях ξ и η соответственно при потере устойчивости (m = 1, 2, 3, …; n = 1, 2, 3, …); А – произвольная постоянная. 

Тогда в соответствии с методом Бубнова – Галеркина должно выполняться равенство

   (21) 

Подставив в уравнение (21) функцию прогибов в виде (20), получим равенство

    (22) 

Для существования отличных от нуля решений выражение, стоящее в квадратных скобках (22), должно обращаться в нуль. Это условие приводит к уравнению для оценки критического сжимающего усилия:

       (23)

Задаваясь различными целыми значениями m и n, при известной величине N_η, имеем множество значений N_ξ, удовлетворяющих равенству (23). В качестве критического будем рассматривать наименьшее усилие N_ξ, при котором все еще возможно равновесие пластины в искривленном состоянии. Из рассмотрения (23) видно, что минимум N_ξ достигается в случае n = 1. Это означает, что при потере устойчивости в направлении η всегда будет образовываться одна полуволна. Тогда уравнение (23) можно представить в виде

         (24)

Минимальное значение усилия (24) определим из условия

которое приводит к значению

         (25)

Подставив (25) в (24), а также учитывая, что N_ξ = δ · σ_ξ, а N_η = δ · σ_η, получим окончательное выражение для расчета критического напряжения в обшивке:

(26)

По сложившейся практике [15], если второе главное напряжение σ_η растягивающее, то оно обычно игнорируется, в этом случае из (26) имеем

           (27)

Результаты численных расчетов

Далее представлены результаты вычислений коэффициентов запаса устойчивости k_V, выполненных с использованием полученных выражений (26) и (27) для расчета критических напряжений  местной потери устойчивости обшивки хвостового отсека лопасти при действии различных скоростей ветра V_в при угле атаки –10° и угле скольжения 0°, при постоянных величинах шагов разбиения расчетной области обшивки вдоль оси Ox и оси Oy, то есть при l_i = l и h_j = h. Данные условия ветрового нагружения использованы для иллюстрации расчетов по определению предельных скоростей ветра из условия местной потери устойчивости обшивки и не являются критическими. Методика выбора критического направления обдува изложена в статье [7].

Напряжения в лонжероне лопасти, нагружаемой ветровым потоком, определены по методу [7]. Расчет критических напряжений местной потери устойчивости и соответствующих им коэффициентов запаса k_V выполнен, как показано в [1], для наиболее нагруженного хвостового отсека модельной лопасти вертолета типа Ми-38, расположенного на удалении 5,45–5,85 м. Это позволяет установить предельную скорость ветра для лопасти, соответствующую началу возникновения местной потери устойчивости обшивок. Поскольку растягивающие напряжения σ_η имеют отличные значения в различных точках обшивки, то расчет ее устойчивости удобно вести, используя коэффициент запаса k_V, определяемый максимумом отношения сжимающих напряжений σ_ξ и критических напряжений  для расчетной области обшивки, то есть  . Зависимость коэффициента запаса k_V, характеризующая момент возникновения местной потери устойчивости для наиболее нагруженной обшивки хвостового отсека ЛНВ, от скорости ветра V_в приведена на рис. 4.

Необходимо отметить, что число полуволн m, вычисляемое по формуле (25), должно иметь целое значение. Это достигается за счет подбора величин шагов разбиения расчетной области вдоль оси Ox и оси Oy, то есть l и h.

Комбинация сжимающих продольных напряжений σ_x, а также растягивающих и касательных напряжений σs_y и t_xy соответственно, как следует из сопоставления зависимостей, приведенных на рис. 4, при предельных скоростях ветра может приводить к появлению зоны местной потери устойчивости обшивки расположенной вдоль задней стенки лонжерона. При этом расчет при   дает более консервативную оценку. Из рис. 4 также следует, что предельная скорость ветра для заданного направления действия ветра имеет значение, равное 21,1 м/с при  и 22,5 м/с при , что несколько меньше полученной в [1] предельной скорости 26 м/с по условию прочности обшивок от действия растягивающих напряжений.

Заключение

Установленная для рассматриваемой лопасти несущего винта предельная скорость ветра 22,5 м/с по условию начала местной потери устойчивости обшивок хвостовых отсеков оказалась меньше предельной скоростью ветра 26 м/с, вычисленной по условию прочности обшивок от действия растягивающих напряжений. При этом с практической точки зрения это не означает, что по данному критерию необходимо ограничивать допустимую в эксплуатации скорость ветра значением 22,5 м/с, поскольку данное значение может быть увеличено как за счет введения допуска на площадь отслоения обшивки от заполнителя, так и за счет допущения о возможности ремонта или замены поврежденного хвостового отсека в эксплуатации вертолета.

Исходя из этого, процесс выбора параметров хвостовых отсеков ЛНВ должен включать оба расчетных случая ветрового нагружения, а именно расчеты на статическую прочность и устойчивость обшивок, по результатам которых должна быть определена предельно допустимая в эксплуатации скорость ветра как наименьшая из полученных по разным критериям.