МОДЕЛИРОВАНИЕ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН УРАВНЕНИЯ КДВ-БЮРГЕРСА В ДИССИПАТИВНО НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Работа является продолжением исследования, начатого в предшествующих работах авторов. В настоящее время теория нелинейных волн переживает бурное развитие, и ее результаты находят многочисленные практические применения. Можно упомянуть направление, связанное с изучением возникновения и эволюции ударных волн, уединенные волны, кинки, периодические и квазипериодические колебания (например – кноидальные волны) и многое другое. В этом ряду малоизученными остаются вопросы с движением солитонов в неоднородной среде; в настоящей статье рассматривается вопрос о простейшей модели такой среды: слоисто-неоднородной. Рассматривается поведение решений типа одиночной волны для уравнения КдВ-Бюргерса при различных видах диссипативной неоднородности среды. В работе исследованы разнообразные виды финитных препятствий, а также переход из диссипативной среды в свободную. Получены численные модели поведения решения. Моделирование проводилось при помощи математической программы Maple с использованием пакета PDETools. Рассмотренные задачи вычислительно очень трудоемки и требуют больших затрат машинного времени. Особо интересен случай увеличения высоты препятствия при сохранении ширины. При анализе численных экспериментов наблюдается неожиданный эффект увеличения высоты волны при увеличении высоты препятствия, что может являться предметом дальнейшего исследования. Вместе с этим при увеличении высоты препятствия увеличивается рябь, бегущая впереди волны. Отметим, что в предыдущих работах авторов была описана другая ситуация, связанная с возникновением ряби. Если же при сохранении высоты препятствия снова увеличим ширину, то ожидаемо наблюдается существенное уменьшение амплитуды волны, что продемонстрировано на модельных графиках. Таким образом, в работе, имеющей экспериментальный характер, продемонстрированы новые интересные свойства движения квазисолитонов в зависимости от вида и размера диссипативных препятствий на основе численного моделирования.

1. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны: учебное пособие для вузов. М.: Физматлит, 2000. 272 с.

2. Самохин А.В. Решения уравнения Бюргерса с периодическим возмущением на границе // Научный Вестник МГТУ ГА. 2015. № 220. С. 82–87.

3. Dubrovin B., Elaeva M. On critical behavior in nonlinear evolutionary PDEs with small viscosity. Available at: https://arxiv.org/pdf/1301.7216v1.pdf (accessed 30.01.2013).

4. Самохин А.В., Дементьев Ю.И. Галилеево-инвариантные решения уравнения КдВ- Бюргерса и нелинейная суперпозиция ударных волн // Научный Вестник МГТУ ГА. 2016. № 224. С. 24–33.

5. Самохин А.В., Дементьев Ю.И. Моделирование решений уравнения КдВ-Бюргерса в неоднородной среде // Научный Вестник МГТУ ГА. 2017. Т. 20, № 02. С. 100–108.

6. Bleher P., Its A. Asymptotics of the partition function of a random matrix model // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 2005. Vol. 55. Pp. 1943–2000.

7. Brézin E., Marinari E., Parisi G. A non-perturbative ambiguity free solution of a string model. Volume 242, Issue 1, 31 May 1990, Pp. 35–38.

8. Claeys T., Grava T. Universality of the break-up profile for the KdV equation in the small dispersion limit using the Riemann-Hilbert approach // Comm. Math. Phys. Volume 286. 2009. Pp. 979–1009.

9. Dedecker P., Tulczyjev W.M. Spectral sequences and the inverse problem of the calculus of variations, in Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics, Geometry, Topology, and Mathematical Physics // Lecture Notes in Math. Vol. 836. New York: Springer, 1980. Pp. 498–503.

10. Dubrovin B. On universality of critical behavior in Hamiltonian PDEs // Amer. Math. Soc.Transl. Volume 224. Providence, RI, 2008. Pp. 59–109.

11. Bakholdin B. Non-dissipative and low-dissipative shocks with regular and stochastic structures in non-linear media with dispersion, in Proceedings of the IUTAM Symposium on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence / eds. A.V. Borisov, V.V. Kozlov, I.S.Mamaev, M.A. Sokolovskiy // IUTAM Bookseries 6. New York: Springer, 2008.

12. Bakholdin B., Il’ichev A. Radiation and modulational instability described by the fifth order Korteweg–DeVries equation, in Mathematical Problems in the Theory of Water Waves / eds. F. Dias, J.-M. Ghidaglia, J.-C. Saut // Contemp. Math. Volume 200. AMS. Providence, RI, 1996.