ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ФАЗОВЫХ СИСТЕМ

Создание методов исследования нелинейных фазовых систем имеет длительную историю, начиная с 60-х годов прошлого века (В.И. Тихонов, В. Линдсей, М.В. Капранов, Б.И. Шахтарин и др.). К настоящему времени разработаны строгие и приближенные методы анализа таких систем. Однако большинство методов ограничиваются анализом систем невысокого порядка. Лишь в последние годы предприняты попытки создания методов, позволяющих проводить анализ фазовых систем высокого порядка. К таким методам относится и материал данной статьи. В статье рассмотрено построение решений фазовых систем на примере фазовой автоподстройки частоты произвольной размерности с кусочно-линейной аппроксимацией нелинейной функции. Такая аппроксимация позволила использовать явный вид решений в областях линейности и получить аналитические условия существования разнообразных типов поведения этой системы. Получены аналитические условия существования решений, приводящих к возникновению сложных предельных множеств траекторий фазовых систем и их бифуркаций. Это гомоклинические траектории в случае состояния равновесия типа седло-фокус, играющие решающую роль в возникновении хаоса. Также показана возможность получения аналитических условий бифуркации рождения и существования многообходных вращательных циклов в кусочно-линейной фазовой системе, на основе которых может быть получен критерий перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода устойчивого цикла, который в соответствии с теоремой Шарковского заканчивается бифуркацией рождения цикла периода три и возникновением развитого хаоса. Следует отметить, что описанные в работе методы исследования кусочно-линейных систем применялись авторами не только к фазовым системам, но, например, к системе Чуа, допускающей разнообразное хаотическое поведение.

1. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972. 446 с.

2. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб.: Наука, 2000. 400 с.

3. Кузнецов А.П., Савин А.В., Сатаев И.Р. О критическом поведении в неидентичных несимметрично связанных системах Чуа II Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15, № 2. С. 3-12.

4. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений II Доклады АН СССР. 1965. Т. 160, № 3. С. 558-561.

5. Шильников Л.П. О рождении периодического движения из траектории, двоякоасимптотической к состоянию равновесия типа седло II Математический Сборник. 1968. Т. 77(119), № 3. С. 461-472.

6. Грибов А.Ф., Крищенко А.П., Шахтарин Б.И. Динамика кусочно-линейной системы третьего порядка II Автоматика и телемеханика. 1980. № 2. С. 21-31.

7. Шахтарин Б.И., Крищенко А.П. Исследование кусочно-линейной системы третьего порядка II Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. № 6. С. 178-185.

8. Пономаренко В.П. Динамические режимы и бифуркации в системе частотно-фазовой автоподстройки с многочастотным дискриминатором II Радиотехника и электроника. 2015. Т. 60, № 2. С. 186-200.

9. Грибов А.Ф., Крищенко А.П., Шахтарин Б.И. Локализация инвариантных компактов системы фазовой синхронизации II Радиотехника и электроника. 2016. Т. 61, № 9. С.871-877.

10. Прохоров А.А., Мчедлова Е.С. Сложная динамика генератора с кусочно-линейной вольт-амперной характеристикой под внешним периодическим многочастотным воздействием II Радиотехника и электроника. 2006. Т. 51, № 4. С. 445-449.

11. Мищенко М.А., Матросов В.В. Синхронизация биений в системах фазовой автоподстройки частоты // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. Т. 25, № 2. С. 37-51.

12. Грибов А.Ф., Крищенко А.П. Условия существования сепаратрисного цикла в кусочно-линейной системе // Радиотехника и электроника. 1982. № 2. С. 321-325.

13. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1969. 576 с.