Ключевым показателем, определяющим возможности авиационной транспортной системы, является топливная эффективность летательных аппаратов. Одним из перспективных направлений в области ее повышения является использование группового полета [1–3]. Примечательно, что аналогичный принцип рекуперации энергии возник эволюционно в природе и существует уже миллионы лет. Так, многие птицы используют построение клином или пеленгом во время длительных перелетов, чтобы минимизировать свои энергозатраты [4][5].

Вихревая структура, формирующаяся за летательным аппаратом (ЛА) – генератором [6–8], традиционно рассматривается как источник потерь энергии для него. Однако индуктивное сопротивление ЛА, движущегося позади, может быть снижено за счет дополнительного скоса воздушного потока, индуцированного таким вихревым следом [9]. Это приводит к снижению потребной тяги силовой установки [10] и, как следствие, расхода топлива. Анализ результатов исследований в летных экспериментах на самолетах Do-28 [11], T-38 [12], F/A-18 [13], C-17 [14], C-20A [15] подтверждает это на практике и показывает, что средняя величина экономии топлива составляет 7–18 %. Результатом проекта Fello’fly1,2, закончившегося в 2021 году, стала демонстрация возможности снижения расхода топлива самолета A-350 на 5–10 % на дальнемагистральных рейсах с использованием концепции полета под воздействием следа Wake Energy Retrieval (WER). Проект GEESE, действующий до 2026 года в рамках программы SESAR 3 и направленный на дальнейшее развитие концепции WER, объединил вокруг себя множество крупнейших партнеров.

Моделирование полета пары самолетов, выполненное в [16], было направлено на исследование активной и пассивной стратегий движения в спутном следе. В первом случае самолет двигался с привязкой к координатам ведущего (пассивная стратегия), а во втором – с привязкой к вихревому следу (активная стратегия). Это исследование показало, что активная стратегия полета дает существенное снижение показателя тяги по сравнению с пассивной. При таком пилотировании возникают дополнительные силы и моменты, повышающие нагрузку на экипаж/оператора ЛА [17]. Возникает риск опасного сближения с ядром одного из вихрей, при котором возможностей органов управления может не хватать для компенсации момента крена [18–20].

Слишком большое удаление, продиктованное исключением попадания в вихревой след [21][22], нивелирует положительную интерференцию летательного аппарата с ним. Возникает компромисс между обеспечением безопасности и повышением топливной эффективности полета ЛА в поле скосов воздушного потока, разрешение которого требует определения пространственного положения вихревого следа, индуцирующего этот скос.

Актуальность данной задачи подтверждается растущим числом публикаций, в которых для обнаружения вихревых структур предлагаются алгоритмы, использующие следующие данные: измерения датчиками скоса воздушного потока [23–25], показания приемников воздушного давления [26], регистрации возмущений траектории полета при директорном режиме управления [27][28], измерения поперечных компонентов скорости воздушного потока с помощью лидаров [29] и пассивных оптических измерителей [30].

Автоматическое обнаружение вихревых структур может быть реализовано посредством поиска минимума целевой функции (ЦФ), характеризующей отличия между модельным и измеренным набором векторов скоса воздушного потока, с помощью методов оптимизации. Построение математических моделей основывается на обобщении экспериментальных данных и наборов допущений, что в сочетании с неизбежными погрешностями измерений приводит к отличиям между расчетными и реальными течениями. Вследствие этого задача идентификации вихревых образований сводится не к точному совпадению модельных и натурных данных, а к нахождению такой конфигурации параметров модели, при которой достигается наилучшее согласование. Для использования в бортовых системах особенно интересны привлекательные своим быстродействием градиентные методы оптимизации. Например, в [31] приведены результаты численных экспериментов по обнаружению плоской конфигурации точечных вихрей, вихря Рэнкина и диполя Чаплыгина – Ламба модифицированным методом градиентного спуска Нестерова. В качестве модельного используется набор из нескольких точечных вихрей. Разработанный автором [31] алгоритм продемонстрировал эффективную сходимость в областях, где линии тока тестового и модельного случая топологически эквивалентны.

В настоящей статье изложена постановка задачи автоматического обнаружения вихревых структур по измерениям компонентов скорости воздушного потока, позволяющая использовать градиентные методы оптимизации для вычисления положения вихревого следа за крылатым летательным аппаратом. Целью исследования является оценка работоспособности полученного алгоритма в условиях валидационного тестового случая, основанного на эксперименте в аэродинамической трубе (АДТ) [32].

В качестве целевой функции в работе [31] предложена взвешенная сумма нормированных разностей длин векторов , а также направлений измеренного и модельного скосов воздушного потока

,

(1)

где  – весовые коэффициенты.

Целевая функция (1) не определена в точках измерений и требует введения ограничений в них, а модель точечного вихря не учитывает изменение структуры течения внутри ядер вихрей в составе спутного следа за самолетом. Поэтому предлагается исключить составляющую направлений из критерия оптимизации, а в качестве модельного течения использовать модификацию вихря Рэнкина (рис. 1):

, (2)

(3)

где  – число измерений;  – радиус ядра вихря;  = 10…13 – коэффициент резкости перехода между режимами течения внутри и снаружи ядра. Функции и  сглаживают переход между режимами течения в вихре. Такие функции применяются, например, для описания сложного поведения аэродинамических характеристик (АДХ) в [33][34]. Полученная модель (3) позволяет сильно приблизиться к вихрю Рэнкина, а значит, учесть особенности изменения структуры течения вблизи ядра, но при этом дифференцируема в месте перехода.

В рамках работы предлагается ряд практических соображений, сужающих пространство поиска. Рассматривается обнаружение стационарного по времени вихревого следа за самолетом с известными массогабаритными показателями в режиме полета, близком к прямолинейному установившемуся горизонтальному. Сформировавшийся вихревой след в таком случае представляет собой пару вихрей противоположного вращения (рис. 2). Абсолютная величина циркуляции каждого из них оценивается по формуле Жуковского, а направление вращения вихрей задается согласно механизму создания подъемной силы – по часовой стрелке для вихря за левой консолью крыла и против часовой за правой. Радиус ядер вихрей в качестве упрощения предполагается известным.

Для исключения локальных минимумов (периодичности) целевой функции угол между горизонталью и прямой, проходящей через центры вихрей (), и расстояние между ними () предлагается ограничить. Полет самолета на максимальную дальность происходит с небольшими углами крена. Поэтому логично считать, что  и  не могут существенно изменяться в результате внешних воздействий, что позволяет еще сильнее сузить пространство поиска и ускорить процесс вычисления.

Математическая формулировка задачи:

где  – искомые координаты центров вихрей в скоростной системе координат самолета-генератора (1 – левый, 2 – правый).

Поле ограничений:

(4)

Модельный скос воздушного потока:

(5)

Целевая функция:

(6)

Для исследований работоспособности алгоритмов использовался тестовый случай, основанный на результатах экспериментальных исследований в аэродинамической трубе Т‑103 ЦАГИ [32] (рис. 3). Он представляет собой базу данных по вихревым структурам, возникающим за прямыми крыльями с симметричным профилем «B» ЦАГИ (хорда b = 0,063 м) [35], имеющими размах Lz = 0,43; 0,63; 1,03 м (удлинения λ = 6,9; 10,2; 16,6) [36], на расстояниях x/l = 3,57…9,06 при скорости воздушного потока V = 30 м/с (число Рейнольдса, вычисленное по хорде крыла, составляет Reb = 1,26 · 10⁵) на угле атаки α = 10°. Эта база данных содержит координаты ядер вихрей, полученные методом видеограмметрии (рис. 4), и значения компонент скорости, измеренные датчиками скоса воздушного потока.

Скос воздушного потока в рассматриваемом тестовом случае регистрировался при каждом дискретном положении модели парой неподвижных датчиков. Спутный след, наблюдаемый в эксперименте, представлял собой конфигурацию из пары вихрей противоположного вращения, характерную для дальнего вихревого следа за крылом ЛА.

Циркуляция Г оценивалась по формуле Жуковского на основании расчета АДХ (табл. 1) в программе XFLR53 методом VLM с учетом опыта [36]:

(7)

Для решения поставленной задачи поиска вихревого следа использовался численный метод оптимизации SLSQP (Sequential Least Squares Programming), реализованный в библиотеке SciPy [37]. Его подробное описание дано в работе Крафта [38], которая является одной из наиболее распространенных реализаций алгоритмов последовательного квадратичного программирования (SQP) для решения задач нелинейной оптимизации с ограничениями [39]. Метод использует информацию о градиенте целевой функции и ограничений для построения локальных аппроксимаций. На каждой итерации исходная задача заменяется вспомогательной квадратичной подзадачей, где целевая функция аппроксимируется квадратичной моделью, а ограничения – линейными приближениями. Решение этой подзадачи определяет направление поиска, после чего осуществляется корректировка шага с учетом ограничений. Алгоритм поддерживает линейные и нелинейные ограничения в формате равенств и неравенств, а также простые границы на переменные, что делает его универсальным инструментом для решения поставленной задачи.

Первым этапом целевая функция (6) исследовалась с помощью следующих преобразований:

(8)

Сначала анализировались комбинации , полученные из экспериментальных данных. В таком случае исследуемое пространство является двумерным и легко поддается графическому анализу. Пример распределения целевой функции показан на рис. 6. Наличие шума исходных данных приводит к появлению нескольких экстремумов целевой функции. Одним из источников такого шума является фоновая турбулентность аэродинамической трубы. В частности, в эксперименте [32] обнаружено, что вихревые структуры, образующиеся в слое смешения потока (рис. 4), вызывают увеличение амплитуды осцилляций центров вихрей при приближении к границе ядра потока АДТ (рис. 7). Исследование показало, что достаточно исключить из исходных данных величины скоса воздушного потока м/с. При фильтрации выше этого уровня значительного изменения характера целевой функции не происходит, в то же время отбрасывание части полезных исходных данных приводит к снижению точности поиска центров вихрей.

Для отфильтрованных данных в рассматриваемом двумерном случае положение минимума центра вихря единственное и хорошо согласуется с центром вихря, определенным экспериментально. Это наблюдается во всех 13 проведенных экспериментах.

На следующем этапе с использованием прямого расчета получен минимум целевой функции в поле координат правого вихря () при различных фиксированных значениях . Эти данные приведены на рис. 8. Их анализ также подтверждает единственность минимума целевой функции, а значения , соответствующие близки к величинам, полученным методом видеограмметрии. На рис. 9 показаны результаты обнаружения вихревого следа методом SLSQP. Величины в подписях над графиками также являются результатами поиска и вычислены из X. Длина линий, обозначающих экспериментальные позиции центров вихрей, соответствует диапазону в три среднеквадратичных отклонения в рамках одного эксперимента. Видно, что вихрь, расположенный ближе к облаку измерений, находится наиболее точно. Более высокий уровень скоса воздушного потока, индуцированного этим вихрем, снижает влияние шума, улучшая качество поиска.

В работе задача автоматического обнаружения вихревого следа за крылатым летательным аппаратом сведена к поиску пространственного положения модели вихревого кластера, соответствующего минимальному расхождению между индуцированным им (кластером) полем векторов скоса воздушного потока и измеренным датчиками экспериментально. Применение оптимизации позволило формализовать этот процесс и обеспечило устойчивое выявление положений центров вихрей в условиях шумов и неполноты исходной информации. В результате адаптации условий задачи для использования градиентных методов были сформулированы следующие ключевые положения: модификация модели вихря Рэнкина, поля ограничений и постобработка измерений для снижения влияния шума. Гладкость и унимодальность полученной целевой функции подтверждены экспериментально.

Решение данной задачи позволило обнаружить вихревой след за моделями крыльев достаточно малой площади (S = 0,027…0,064 м²)в условиях турбулентности АДТ с точностью, сопоставимой с экспериментальным разбросом во всех тестовых случаях. Быстродействие разработанного алгоритма позволяет оценивать положение вихревого следа в реальном времени, а его работоспособность в сложных условиях эксперимента косвенно говорит о высоком потенциале при переходе к натуре. Существенно большие величины скосов воздушного потока, характерные для вихревых следов самолетов, выполняющих транспортные задачи, по всей видимости, будут обнаруживаться на значительно больших расстояниях, особенно в условиях спокойной атмосферы.

Разработанный алгоритм пригоден для экспериментальной аэродинамики в целом, так как позволяет в реальном времени по небольшому количеству измерений скосов воздушного потока с достаточно высокой точностью спрогнозировать положение устойчивой по времени вихревой структуры.

1. Airbus y sus socios demuestran que volar en grupo puede ahorrar combustible a las aerolíneas y reducir las emisiones de CO2 [Электронный ресурс] // Airbus. 2021. URL: https://www.airbus.com/en/newsroom/press-releases/2021-11-airbus-and-its-partners-demonstrate-how-sharing-the-skies-can-save (дата об-ращения: 22.07.2025).2. Airbus and its partners demonstrate how sharing the skies can save airlines fuel and reduce CO2 emissions [Электронный ресурс] // Airbas. 2021. URL: https://www.airbus.com/en/newsroom/press-releases/2021-11-airbus-and-its-partners-demonstrate-how-sharing-the-skies-can-save (дата обращения: 22.07.2025).3. XFLR5. Analysis of foils and wings operating at low Reynolds numbers. Guidelines for QFLR5 v0.03, 2009. 58 p.