В последние годы литийионные аккумуляторы (ЛИА) получили широкое распространение в самых различных областях: от потребительской электроники до авиационной и космической промышленности. Высокие удельные энергетические показатели делают такие аккумуляторы особенно привлекательными для систем, требующих надежного и долговечного источника питания [1, 2]. Однако эффективное использование ЛИА подразумевает детальное понимание протекающих в них физических и химических процессов, а также постоянный мониторинг их текущего состояния для своевременного диагностирования и прогнозирования остаточной емкости и остаточного ресурса при разных режимах работы [3, 4].

Одним из перспективных методов диагностирования ЛИА является построение полной математической модели ЛИА, отражающей ключевые механизмы взаимодействия внутри ячейки: от кинетики электродных реакций до динамики распределения заряда на двойных слоях [5]. Такая математическая модель может быть основой цифрового двойника ЛИА [6]. Этот подход целесообразен при проектировании систем управления зарядом-разрядом, а также при реализации алгоритмов диагностирования и продления ресурса [1].

Для получения корректной математической модели ЛИА может применяться метод математического прототипирования энергетических процессов (ММПЭП) [5, 7, 8]. Он представляет собой единый формализм, основанный на законах механики, электродинамики и современной неравновесной термодинамики, позволяющий строить уравнения динамик процессов различной физической и химической природы. В рамках ММПЭП параметры аккумулятора не сводятся к абстрактным коэффициентам в эмпирических выражениях, а выводятся на основании физико-химических закономерностей и законов сохранения [7].

Вместе с тем для реальной эксплуатации важнейшей задачей является идентификация конкретных численных значений параметров полученной ММПЭП модели применительно к конкретному экземпляру ЛИА. В основу идентификации положено сопоставление результатов вычислительного эксперимента с экспериментальными данными реальных ЛИА [9]. Однако, учитывая существенную нелинейность, а нередко и высокую размерность полной модели ЛИА, наиболее целесообразным является обучение нейронной сети для параметров полной модели ЛИА. Нейросеть в этом случае имеет смысл интегрировать с полной моделью ЛИА [10].

Целью данной статьи является анализ методов идентификации параметров полной модели ЛИА, построенной ММПЭП, в том числе и с использованием нейронных сетей. Предполагается, что результаты работы будут способствовать созданию более точных алгоритмов диагностики и прогнозирования ресурса литийионных аккумуляторов для широкого круга приложений.

ММПЭП представляет собой единый формализм, позволяющий строить уравнения динамики физических и химических систем, не противоречащие законам сохранения и термодинамики [5, 11]. Факторы, определяющие динамику физических и химических процессов, показаны на рис. 1. Для получения уравнений ММПЭП в численном виде задаются функциональные разложения для свойств веществ и процессов рассматриваемой системы с точностью до экспериментально исследуемых постоянных коэффициентов с учетом соответствующих ограничений [3, 12]. Затем на основе результатов моделирования динамики строится динамика измеряемых и контролируемых параметров.

ММПЭП была построена полная модель ЛИА и выполнена ее программная реализация [4]. На вход упомянутой программной реализации подаются параметры функциональных разложений свойств веществ и процессов в ЛИА, его начальное состояние и температура окружающей среды [4]. На выходе программа возвращает динамики напряжения на клеммах, температуры внутреннего содержимого ЛИА, напряжений двойных слоев и мембраны, то есть моделирует поведение аккумулятора во времени и сохраняет результаты [4]. Полученная в [4] модель ЛИА включает более 60 независимых коэффициентов.

Каждый из упомянутых параметров полной модели ЛИА либо напрямую связывается с физическими величинами (емкости, ЭДС, сопротивления двойных слоев и мембраны), либо является поправочным множителем/дополнительным коэффициентом, уточняющим поведение системы в разных диапазонах заряда, тока и температуры [4]. Предложенная в [4] полная модель ЛИА обеспечивает физическую корректность (не противоречит законам сохранения энергии и термодинамики) и требуемую точность при наличии достаточного числа экспериментальных данных.

Для численной реализации построенной в [4] полной модели ЛИА возникает задача идентификации ее параметров. На практике параметрическая идентификация может быть разбита на два этапа:

этап 1 – первичное приближение параметров. Целью этапа является получение грубых, но осмысленных стартовых значений параметров математической модели на основе анализа измеренных характеристик аккумулятора (например, U(t), I(t), T(t));

этап 2 – оптимизация параметров. После получения стартовых значений они уточняются с использованием численных оптимизаторов, минимизирующих отклонение расчетной модели от экспериментальных данных. Например, можно использовать градиентные методы, такие как LBFGS и Adam [13, 14], или метод байесовской калибровки на основе методов MCMC/NUTS [15].

Второй задачей является получение упрощенных аналитических выражений с коэффициентами для конкретного реального аккумулятора, используя методы символьной регрессии [12]. Этот этап направлен на создание упрощенной аналитической модели, которая аппроксимирует поведение ЛИА на основе ранее идентифицированных параметров, полученных методом математического прототипирования энергетических процессов. Такие упрощенные аналитические модели строятся путем кусочно-аналитического упрощения исходных дифференциальных уравнений, полученных методом математического прототипирования, с последующей идентификацией постоянных коэффициентов модели из экспериментальных данных. Подобный подход обеспечивает минимальные вычислительные затраты и является основой для построения эффективных цифровых двойников, пригодных для задач мониторинга и управления аккумуляторами в реальном времени [16].

Для первичной оценки параметров модели по наблюдаемым данным рассмотрим следующие группы методов.

XGBoost (Extreme Gradient Boosting) представляет собой ансамблевый метод машинного обучения, основанный на градиентном бустинге деревьев решений. Он активно используется для задач регрессии и прогнозирования состояний литийионных аккумуляторов, таких как оценка состояния здоровья (State of Health, SOH) и остаточного ресурса (Remaining Useful Life, RUL). В задачах параметрической идентификации аккумуляторов XGBoost применяется для построения инверсных регрессоров, обучаемых на синтетических наборах данных формата «динамика системы → параметры аккумулятора» [17, 18]. Настоящий подход обеспечивает высокую скорость вычислений и устойчивость к шумовым данным, однако не учитывает физические ограничения модели. Это может привести к появлению физически некорректных значений параметров при экстраполяции на условия, не входящие в обучающую выборку.

Random Forest (случайный лес) также является ансамблевым методом, который основывается на построении множества случайных деревьев решений с последующим их усреднением (голосованием). Несмотря на высокую точность при небольшом объеме данных и устойчивость к переобучению, его возможности в задачах точной параметрической идентификации ограничены. Это связано с отсутствием встроенного физического описания изучаемых процессов и относительно высокими требованиями к оперативной памяти при работе с большим числом признаков [19]. XGBoost и Random Forest – универсальные табличные ансамбли: хорошо работают на статических признаках, но не умеют извлекать закономерности во времени без предварительного агрегирования или созданных вручную признаков.

Инверсные нейронные сети INN (Inverse Neural Networks) применяются для решения обратной задачи, где входом служат временные ряды (U, I, T), а выходом – параметры аккумулятора (θ). Особый интерес представляют физически информированные нейронные сети (PINNs), которые учитывают в процессе обучения физические законы, например уравнения теплопереноса и баланса заряда. PINN‑архитектуры обучаются так, чтобы предсказания не только соответствовали эксперименту, но и удовлетворяли системе дифференциальных уравнений [20, 21]. Это делает их особенно подходящими для задач параметрической идентификации аккумуляторов, позволяя избежать физически некорректных решений. PINN особенно эффективны для задач, где доступны неполные данные, и они обеспечивают интерпретируемость, что важно для инженерных приложений.

Исследования показывают, что инверсные нейронные сети, особенно физически информированные нейронные сети (PINN), вероятно, наиболее подходящий выбор. Они интегрируют физические законы, такие как дифференциальные уравнения, в процесс обучения, что делает их эффективными для сложных задач параметрической оценки. Они продемонстрировали эффективность в оценке состояния заряда (SOC) и состояния здоровья (SOH), что связано с параметрами модели [20].

В сравнительных исследованиях нейронные сети с ансамблевым обучением и трансферным обучением (DCNN-ETL) показали лучшую точность и устойчивость по сравнению с Random Forest Regression, что подтверждает преимущество нейронных сетей для задач, связанных с состоянием батареи [19, 22].

Физически информированные нейронные сети довольно сложны в реализации, требуют специальных навыков в программировании, поэтому автором для решения задачи первичного приближения параметров была предпринята попытка создания более простой инверсной нейронной сети для задач параметрической идентификации. Комплекс программ, реализующих эту идею, получен с использованием LLM (большие языковые модели) Grok, ChatGPT o3, ChatGPT o4-mini-high, DeepSeek r1.

Для создания и обучения нейронных сетей критически важным является правильно подготовленные данные. Такие данные были получены из программной реализации модели литийионного аккумулятора, описанного выше.

Набор данных представляет собой разрядные характеристики, полученные при различных (случайных) параметрах модели литийионного аккумулятора. Для получения случайных параметров ЛИА была создана программа генерации параметров. Генератор параметров литийионного аккумулятора строится по принципу случайного выбора значений из заданных диапазонов с последующей фильтрацией или корректировкой тех параметров, которые нарушают физические или инженерные ограничения. Такой подход позволяет автоматизировать процесс формирования массивов данных для моделирования или обучения, исключая непригодные или противоречивые варианты. В начале каждый параметр выбирается из диапазона  с равномерным распределением . Затем набор проверяется по ряду физических соотношений (табл. 1). В случае несоответствия значения корректируются или отклоняются, и набор параметров формируется заново. В результате сохраняется баланс между охватом пространства параметров и соответствия физико-химическим процессам.

После получения разрядных характеристик каждого аккумулятора по полученным сгенерированным параметрам, встает вопрос оптимизации данных для обучения нейросети. С целью экономии вычислительных ресурсов производился отбор наиболее информативных сегментов данных. Для этих целей был реализован алгоритм автоматической обработки файлов, содержащих разрядные характеристики, извлекающий участки с наибольшей динамической активностью по напряжению и току. Это необходимо для формирования выборки, акцентированной на ключевых переходных процессах внутри аккумулятора.

Для каждого временного ряда выполняется извлечение трех ключевых сегментов – наблюдаемых параметров (рис. 2).

В случае несоответствия значения корректируются или отклоняются и набор параметров формируется заново. В результате сохраняется баланс между охватом пространства параметров и соответствием физико-химическим процессам.

Один сегмент по току:  – модуль разности между соседними значениями сигнала. Поиск максимума  Нахождение точки с наибольшими изменениями. Формирование отрезка  Выделение отрезка длины w вокруг максимума.

Два сегмента, соответствующих максимальному изменению напряжения (один в первой половине записи, другой – во второй):

Суммирование изменений внутри окна длиной . Все отобранные сегменты по времени объединяются, формируется итоговая таблица с привязкой к параметрам аккумулятора и метаданными.

Одной из основных задач при анализе поведения модели литийионного аккумулятора на основе метода математического прототипирования энергетических процессов является оценка чувствительности выходных характеристик модели к изменению ее параметров. Это позволяет выявить наиболее влиятельные параметры, точность предсказания которых станет важным критерием эффективности нейросети.

Для фиксированного режима тока и эталонного аккумулятора  с параметрами  моделируется временной ряд напряжения на клеммах  и температуры корпуса аккумулятора . Аналогично для аккумулятора , в котором один из параметров модели изменен на ±10 %, формируются временные ряды  и . На основе этих данных вычисляются интегральные разности:

Изменение производится поочередно для каждого параметра. Программа вычисляет участки максимального влияния каждого параметра и количественные различия между эталонной и модифицированной группами. Это позволяет определить наиболее значимые параметры, снизить размерность задачи идентификации и повысить точность дальнейшего анализа. Таким образом был выявлен ряд параметров наибольшего влияния на изменение напряжения и температуры аккумулятора (рис. 3).

Однако следует учесть, что при изменении только i-го параметра на ±10 % оценивается только локальная чувствительность «один к одному» и игнорируется любое кроссвзаимодействие параметров. В многопараметрической среде это может привести к «скрытому раскачиванию»: два (или больше) коэффициента изменяют напряжение в противофазе, их индивидуальные интегральные эффекты велики, но совместное действие практически взаимокомпенсируется, и ранжирование по  дает неточную картину влияния. В дальнейших исследованиях планируется учесть взаимосвязь параметров при идентификации, чтобы «скрытое раскачивание» не перекочевало в нейронную сеть.

После подготовки данных были сформулированы следующие параметры нейронной сети.

На вход подаются динамические характеристики (временные ряды напряжения на клеммах аккумулятора (Ukl), температура аккумулятора (TBAkk), ток нагрузки (Icur), температура окружающей среды (Tokr). Эти временные ряды являются наблюдаемыми: они непрерывно измеряются установленными на аккумуляторе датчиками и поступают в нейронную сеть как известные входные сигналы; их значения не входят в вектор идентифицируемых параметров. Также подаются статические начальные параметры (не изменяющиеся во времени) начальная внутренняя температура аккумулятора (TInAkk0), начальная температура батареи (TBAkk0), начальный заряд аккумулятора (q0).

Для улучшения информативности входных данных были сформированы дополнительные признаки, такие как произведения напряжения и тока, разность температур, произведения времени на ток и напряжение, а также дискретные метки фрагментов временных рядов. Подготовленные данные были подвергнуты масштабированию при помощи алгоритмов стандартизации (StandardScaler), что способствует стабильности обучения и улучшению точности модели.

Используемая архитектура сочетает временные признаки (напряжение, ток, температура) с дополнительными статическими характеристиками и позволяет оценить физически осмысленные параметры батареи, такие как емкости двойных слоев, сопротивления, коэффициенты теплопередачи, параметры мембраны и др. Реализация использует сверточные, рекуррентные и attention-слои, а также стандартизацию входных данных, маскирование и смешанную точность вычислений (рис. 4).

Входные параметры:

  – временные (динамические) параметры, где  – напряжение на клеммах аккумулятора,  – температура корпуса аккумулятора,  – ток разряда,  – температура окружающей среды,  – нормализованное время.

 – статические параметры (не меняющиеся во времени), где  – температура корпуса аккумулятора в начальный момент времени,  – температура окружающей среды в начальный момент времени, q0 – начальный заряд.

Целевая функция: , где pi – параметры аккумулятора, включая ЭДС двойных слоев в заряженном и разряженном состоянии – EbinpD, EbinpC, EbinnD, EbinnC; электрические и тепловые емкости – Cbin0p, Cbin0n, Cm, CBAkk, CInAkk; сопротивления – Rkl, Rbin0p, Rbin0n, Rm0; температурные и зарядовые поправки – α, β, rCRT, nRQ и др.

Перед запуском процесса обучения подготавливается и загружается csv – файл с данными динамических и статических параметров, при которых были получены первые. Далее происходит группировка по dynamicIndex (одна динамика разряда), заполняются пропущенные значения методом ffill. После этого формируется список последовательностей и стандартизация признаков по обучающей выборке.

Генератор данных производит маскирование значений до заданной длины, нормализует и возвращает пару 

Модель состоит из двух ветвей.

Динамическая ветвь: Conv1D → LSTM → MultiHeadAttention → GlobalAveragePooling1D, где Conv1D выявляет локальные закономерности во времени, LSTM извлекает временные зависимости:  MultiHeadAttention – контекстное внимание: , где Q(Query) – запросы, формируемые из последовательности, K(Key) – ключи, с которыми сравниваются запросы, V(Value) – значения, которые агрегируются по важности, dk – размерность ключей (и запросов), используется для масштабирования, 𝑠𝑜𝑓𝑡𝑚𝑎x нормализует скалярные произведения, превращая их в веса внимания.

Статическая ветвь: статические параметры подаются на вход плотной (dense) нейронной сети Dense(64) → Dense(32) с активацией ReLU.

Цель этих слоев – трансформировать входной вектор в более выразительное скрытое представление, которое затем будет объединено с признаками из временной ветви.

После предварительной обработки каждая ветвь формирует собственный вектор признаков. Далее они объединяются (конкатенация) в единый набор признаков, который подается на: concat → Dropout → Dense(256) → Dropout → Dense(128).

Dropout (полносвязный слой) используется для предотвращения переобучения, увеличивая обобщающие способности модели. Выходной слой содержит линейную активацию и предсказывает 60 параметров аккумулятора: Dense (60, linear).

Обучение модели

Обучение разработанной нейронной сети проводится с использованием двух основных метрик: среднеквадратичной ошибки (Mean Squared Error, MSE) и средней абсолютной ошибки (Mean Absolute Error, MAE). , где yi – истинный вектор параметров литийионного аккумулятора для i-го объекта обучающей выборки, включающий значения идентифицируемых параметров полной модели,  – вектор параметров аккумулятора, предсказанный нейронной сетью для того же объекта, N – число объектов в обучающей выборке, квадрат евклидовой нормы. Соответствует сумме квадратов отклонений предсказанных значений параметров от их истинных значений по всем компонентам вектора. MSE эффективно отражает большие ошибки, поскольку они имеют квадратичный вес, что особенно важно для задач с высоким риском значительных отклонений. MAE вместо квадрата берется абсолютное значение ошибки. MAE менее чувствительна к выбросам и обеспечивает более равномерное штрафование всех ошибок, что делает ее полезной дополнительной метрикой для оценки стабильности и общей точности модели. Таким образом, опираясь на эти значения, нейросеть обучается. Она каждый раз считает ошибку, сравнивая свои ответы с правильными. Использование MSE + MAE вместо классического алгоритма Ньютона обусловлено снижением вычислительной сложности при 60‑мерном пространстве параметров, устойчивостью к шумовым выбросам, а также возможностью мини-батч-оптимизации на GPU. Быстрая локальная сходимость метода Ньютона достигается лишь при хорошем начальном приближении и полных матрицах Гессе, что для рассматриваемой модели экономически нецелесообразно.

Для обучения был сформирован массив из 1 000 различных сочетаний статичных параметров (1 000 виртуальных аккумуляторов) и полученных по ним динамическим параметрам (разрядные характеристики). По завершении обучения средняя точность предсказания по выявленным наиболее влиятельным параметрам составила 30,6 %. Стоит отметить, что небольшое абсолютное отклонение по некоторым параметрам могло дать большое отклонение в процентном отношении, например Rkl – сопротивление клемм аккумулятора (рис. 5).

Разработанная нейронная сеть для идентификации параметров полной модели литийионного аккумулятора продемонстрировала перспективу применения нейросетевых методов в решении задач параметрической идентификации. Несмотря на сравнительно низкую общую точность предсказаний (около 30,6 %), представленная модель может эффективно использоваться для грубой оценки и первичного приближения параметров аккумуляторов, что существенно сокращает затраты времени и ресурсов на первоначальный этап калибровки. Тем не менее для практического применения и создания цифровых двойников аккумуляторов необходима более высокая точность идентификации. Для ее достижения целесообразно продолжить работу по следующим направлениям.

Таким образом, предложенная модель является важным промежуточным этапом на пути к созданию высокоточных цифровых двойников литийионных аккумуляторов. Дальнейшие исследования должны быть направлены на интеграцию продвинутых архитектур и физически информированных подходов, которые обеспечат необходимую точность и надежность, востребованную в высокотехнологичных отраслях, таких как авиация и космонавтика.