cahtНаучный вестник МГТУ ГАCivil Aviation High Technologies2079-06192542-0119Moscow State Technical University of Civil Aviation (MSTU CA)caht-601Research ArticleСтатьиПилообразные решения уравнения Бюргерса на интервалеSAWTOOTH SOLUTIONS TO THE BURGERS EQUATION ON AN INTERVALСамохинА. В.SamokhinA. V.noemail@neicon.ruДементьевЮ. И.DementyevY. I.noemail@neicon.ruМГТУ ГАРоссияMSTUCARussian Federation2014071120160204135142Copyright © Самохин А.В., Дементьев Ю.И., 20162016Самохин А.В., Дементьев Ю.И.Samokhin A.V., Dementyev Y.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://avia.mstuca.ru/jour/article/view/601

Изучается асимптотическое поведение решений уравнения Бюргерса на конечном интервале с заданными начальными и постоянными граничными условиями. Поскольку уравнение описывает движение в диссипативной среде, начальный профиль решения эволюционирует к стационарному (инвариантному по времени) решению с теми же граничными условиями. Однако к такому результату ведут три различных пути: начальный профиль может регулярно спускаться к гладкому инвариантному решению; или через дисперсионный шок и мульти-осцилляции развивается разрыв типа Хевисайда; или асимптотическим пределом оказывается пилообразное решение с периодическими разрывами производной.

The asymptotic behavior of solutions of the Burgers equation and its generalizations with initial value - boundary problem on a finite interval with constant boundary conditions is studied. Since the equation describes the movement in a dissipative medium, the initial profile of the solution will evolve to an time-invariant solution with the same boundary values. However there are three ways of obtaining the same result: the initial profile may regularly decay to the smooth invariant solution; or a Heaviside-type gap develops through a dispersive shock and multi-oscillations; or an asymptotic limit is a stationary ’sawtooth’ solution with periodical breaks of derivative.

уравнение Бюргерсаначально-граничная задачаградиентная катастрофапилообразные решенияBurgers equationinitial value - boundary problemgradient catastrophesawtooth solutionsReferencesDubrovin B., Elaeva M. On critical behavior in nonlinear evolutionary PDEs with small viscosity// ArXiv: 1301.7216v1math-ph., 30.01.2013, 16 p.Dubrovin B., Elaeva M. On critical behavior in nonlinear evolutionary PDEs with small viscosity// ArXiv: 1301.7216v1math-ph., 30.01.2013, 16 p.Dubrovin B., Grava T. and Clein C. Numerical study of breakup in generalized Korteweg de Vries and Kawahara equations// Siam J. Appl. Math, 71: 4 (2011), p. 983-1008.Dubrovin B., Grava T. and Clein C. Numerical study of breakup in generalized Korteweg de Vries and Kawahara equations// Siam J. Appl. Math, 71: 4 (2011), p. 983-1008.Dubrovin B. On Hamiltonian Perturbations of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, II: Universality of Critical Behaviour// Comm. Math. Phys., 267(2006), p. 117-139.Dubrovin B. On Hamiltonian Perturbations of Hyperbolic Systems of Conservation Laws, II: Universality of Critical Behaviour// Comm. Math. Phys., 267(2006), p. 117-139.Parker D.F. The decay of sawtooth solutions to the Burgers equation// Proc. R. Soc. of Lond., 369 A (1980), p. 409-424.Parker D.F. The decay of sawtooth solutions to the Burgers equation// Proc. R. Soc. of Lond., 369 A (1980), p. 409-424.Rudenko O.V. Nonlinear sawtooth-shaped waves// UFN:9 (1995), p. 1011-1035 (in Russian).Rudenko O.V. Nonlinear sawtooth-shaped waves// UFN:9 (1995), p. 1011-1035 (in Russian).Samokhin A.V. and Dementyev Y.I. Symmetries of a boundary-value problem on an interval// Proc. of the Int. Geometry Center, Odessa: ONAFT, 2 (2009), p. 55-80 (in Russian).Samokhin A.V. and Dementyev Y.I. Symmetries of a boundary-value problem on an interval// Proc. of the Int. Geometry Center, Odessa: ONAFT, 2 (2009), p. 55-80 (in Russian).Samokhin A.V. Evolution of initial data for Burgers equation with fixed boundary values// Sci. HeraldofMSTUCA, 194 (2013), p. 63-70 (in Russian).Samokhin A.V. Evolution of initial data for Burgers equation with fixed boundary values// Sci. HeraldofMSTUCA, 194 (2013), p. 63-70 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.