Грибов Александр Федорович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического моделирования
Alexander F. Gribov - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Mathematical Simulation Chair
Шахтарин Борис Ильич - доктор технических наук, профессор, профессор кафедры автономных информационных и управляющих систем
Boris I. Shakhtarin - Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of the Autonomous Information and Control Systems Chair
Создание методов исследования нелинейных фазовых систем имеет длительную историю, начиная с 60-х годов прошлого века (В.И. Тихонов, В. Линдсей, М.В. Капранов, Б.И. Шахтарин и др.). К настоящему времени разработаны строгие и приближенные методы анализа таких систем. Однако большинство методов ограничиваются анализом систем невысокого порядка. Лишь в последние годы предприняты попытки создания методов, позволяющих проводить анализ фазовых систем высокого порядка. К таким методам относится и материал данной статьи. В статье рассмотрено построение решений фазовых систем на примере фазовой автоподстройки частоты произвольной размерности с кусочно-линейной аппроксимацией нелинейной функции. Такая аппроксимация позволила использовать явный вид решений в областях линейности и получить аналитические условия существования разнообразных типов поведения этой системы. Получены аналитические условия существования решений, приводящих к возникновению сложных предельных множеств траекторий фазовых систем и их бифуркаций. Это гомоклинические траектории в случае состояния равновесия типа седло-фокус, играющие решающую роль в возникновении хаоса. Также показана возможность получения аналитических условий бифуркации рождения и существования многообходных вращательных циклов в кусочно-линейной фазовой системе, на основе которых может быть получен критерий перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода устойчивого цикла, который в соответствии с теоремой Шарковского заканчивается бифуркацией рождения цикла периода три и возникновением развитого хаоса. Следует отметить, что описанные в работе методы исследования кусочно-линейных систем применялись авторами не только к фазовым системам, но, например, к системе Чуа, допускающей разнообразное хаотическое поведение.
The creation of methods for the study of nonlinear phase systems has a long history, since the 60s of the last century (V.I. Tikhonov, V. Lindsay, M.V. Kapranov, B.I. Shakhtarin, etc.). By now, rigorous and approximate analysis methods of such systems have been developed. However, most methods are limited to the analysis of low order systems. Only in recent years attempts have been made to create methods, which allow to carry out the analysis of high-order phase systems. The material of this article deals with these methods. The article considers the construction of solutions of phase systems on the example of phase-locked frequency of arbitrary dimension with piecewise linear approximation of the nonlinear function. This approximation allowed to use an explicit form of solutions in the linearity and to obtain analytical conditions for the existence of various types of system behavior. The analytical conditions for the existence of solutions leading to the emergence of complex limit sets of the trajectories of phase systems and their bifurcations are obtained. These are homoclinic trajectories in the case of the saddle-focus equilibrium state, which play a decisive role in the occurrence of chaos. It is also shown that it is possible to obtain analytical conditions for the bifurcation of the birth and the existence of multi-pass rotational cycles in a piecewise linear phase system, on the basis of which a criterion for the transition to chaos through bifurcations cascade of doubling the stable cycle period can be obtained; in accordance with the Sharkovsky theorem it ends with the bifurcation of the cycle birth of the period three and the occurrence of developed chaos. It should be noted that the research methods of piecewise linear systems described in the paper were applied by the authors not only to phase systems, but, for example, to the Chua system, allowing various chaotic behavior.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.