доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher
Рассматривается уравнение Ландау – Лифшица на трехмерном торе. Уравнение приводится к форме уравнения Эйлера на геодезические левоинвариантной метрики в бесконечномерной алгебре Ли группы токов. Группа токов задается поточечным отображением трехмерного тора в трехмерную ортогональную группу. В алгебре Ли используется введенный ранее нестандартный коммутатор. Решения уравнения Ландау – Лифшица разлагаются по ортонормированному базису левоинвариантной метрики в алгебре токов. Для коэффициентов разложения решения уравнения Ландау – Лифшица в рамках построенной модели вычисляется явный вид эволюционных уравнений. Для этого используются полученные ранее выражения для сумм операторов присоединенного и коприсоединенного действия в бесконечномерной алгебре Ли токов с нестандартным коммутатором. Свойство компактности указанных операторов суммы позволяет получить асимптотическую форму уравнения Ландау – Лифшица на трехмерном торе. Найдены эволюционные уравнения на подпространство потоков, состоящее из векторных полей, чьи Фурье-разложения содержат только простые гармоники вида cos . kf Такие векторные поля составляют подалгебру алгебры токов, которая является также замкнутой относительно действия коприсоединенных операторов. В таком случае произвольное уравнение Ландау – Лифшица, для которого вектор начальных условий лежит в этой подалгебре, останется в ней для всех t, для которых это решение определено. Отметим, что для изучения уравнения Ландау – Лифшица алгебра токов со стандартным коммутатором оказалась неэффективной: в частности, уравнение Ландау – Лифшица не является уравнением Эйлера на алгебре токов со стандартным коммутатором. Таким образом, для уравнения Ландау – Лифшица на трехмерном торе вычислен явный вид эволюционных уравнений на коэффициенты Фурье-разложений его решений при помощи операторов, представляющих собой сумму операторов присоединенного и коприсоединенного действия алгебры токов на трехмерном торе с нестандартным коммутатором. При этом именно свойство компактности указанных операторов суммы (в то время как по отдельности их составляющие оператор присоединенного и оператор коприсоединенного действий не являются даже непрерывными) позволило получить указанную асимптотическую форму.
We consider the Landau-Lifshitz equation on a three-dimensional torus. The equation is reduced to the form of the Euler equation for the geodesic left-invariant metric on the infinite-dimensional Lie algebra of the current group. The group of currents is given by a pointwise mapping of the three-dimensional torus into a three-dimensional orthogonal group. In Lie algebra we use the non-standard commutator introduced earlier. The solutions of the Landau-Lifshitz equation can be expanded in terms of the orthonormal basis of the left-invariant metric in the currents algebra. For the expansion coefficients of the solution of the Landau-Lifshitz equation, the explicit form of the evolution equations is deduced in the framework of the constructed model. To do this, we use the expressions obtained earlier for the sums of the adjoint and coadjoint action operators in an infinite-dimensional Lie algebra of currents with nonstandard commutator. The compactness property of the indicated sum operators makes it possible to obtain the asymptotic form of the Landau-Lifshitz equation on a threedimensional torus. Evolution equations are found on the subspace of flows consisting of vector fields whose Fourier expansions contain only simple harmonics of the form cos (kØ) Such vector fields form a subalgebra of the currents algebra which is also closed under the action of coadjoint operators. In this case, an arbitrary Landau-Lifshitz equation for which the vector of initial conditions lies in this subalgebra remains in it for all t for which this solution is defined. We note that to study the Landau-Lifshitz equation the currents algebra with the standard commutator turned out to be ineffective: in particular, the Landau-Lifshitz equation is not an Euler equation on the current algebra with a standard commutator. Thus, for the Landau-Lifshitz equation on the three-dimensional torus, the explicit form of the evolution equations for the coefficients of the Fourier expansion of its solutions by means of operators representing the sum of the operators of the adjoint and co-adjoint action of the current algebra on a three-dimensional torus with nonstandard commutator is obtained. Moreover, it is the property of compactness of the indicated sum operators (while, separately, their components, the operator of the adjoint action operator as well as the coadjoint one are not even continuous) made it possible to obtain the indicated asymptotic form.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.