кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Higher Mathematics Chair
Для обобщенных уравнений Рапопорта – Лиса построена алгебра дифференциальных инвариантов относительно точечных преобразований, то есть преобразований независимых и зависимых переменных. Нахождение общего преобразования такого типа сводится к решению крайне сложного функционального уравнения. Поэтому мы, следуя подходу Софуса Ли, ограничимся поиском инфинитезимальных преобразований, то есть таких, которые порождаются сдвигами вдоль траекторий векторных полей. Задача отыскания этих векторных полей сводится к решению переопределенной системы линейных дифференциальных уравнений относительно их коэффициентов. Уравнения Рапопорта – Лиса возникают при изучении процессов нелинейной фильтрации в пористых средах, а также в других областях естествознания: например, эти уравнения описывают различные физические процессы: двухфазную фильтрацию в пористой среде, фильтрацию политропного газа, распространение тепла при ядерном взрыве. Они являются актуальной темой для исследования: в недавних работах Бибикова, Лычагина и других про- веден анализ симметрий обобщенных уравнений Рапопорта – Лиса и найдены его конечномерные динамики и условия существования аттракторов. Поскольку обобщенные уравнения Рапопорта – Лиса представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными, для их изучения в работе используются методы геометрической теории дифференциальных уравнений. Согласно этой теории дифференциальные уравнения порождают подмногообразия в пространстве джетов. Это позволяет использовать аппарат современной дифференциальной геометрии для исследования дифференциальных уравнений. Вводится понятие допустимых преобразований, то есть замен переменных, не выводящих уравнения за пределы класса уравнений Рапопорта – Лиса. Такие преобразования образуют группу Ли. Для этой группы Ли находятся дифференциальные инварианты, которые разделяют ее регулярные орбиты, что позволяет классифицировать обобщенные уравнения Рапопорта – Лиса.
For the generalized Rapoport-Leas equations, algebra of differential invariants is constructed with respect to point transformations, that is, transformations of independent and dependent variables. The finding of a general transformation of this type reduces to solving an extremely complicated functional equation. Therefore, following the approach of Sophus Lie, we restrict ourselves to the search for infinitesimal transformations which are generated by translations along the trajectories of vector fields. The problem of finding these vector fields reduces to the redefined system decision of linear differential equations with respect to their coefficients. The Rapoport-Leas equations arise in the study of nonlinear filtration processes in porous media, as well as in other areas of natural science: for example, these equations describe various physical phenomena: two-phase filtration in a porous medium, filtration of a polytropic gas, and propagation of heat at nuclear explosion. They are vital topic for research: in recent works of Bibikov, Lychagin, and others, the analysis of the symmetries of the generalized Rapoport-Leas equations has been carried out; finite-dimensional dynamics and conditions of attractors existence have been found. Since the generalized RapoportLeas equations are nonlinear partial differential equations of the second order with two independent variables; the methods of the geometric theory of differential equations are used to study them in this paper. According to this theory differential equations generate subvarieties in the space of jets. This makes it possible to use the apparatus of modern differential geometry to study differential equations. We introduce the concept of admissible transformations, that is, replacements of variables that do not derive equations outside the class of the Rapoport-Leas equations. Such transformations form a Lie group. For this Lie group there are differential invariants that separate its regular orbits, which allow us to classify the generalized Rapoport-Leas equations.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.