младший научный сотрудник
Research Assistant,
Moscow
Проводится анализ применимости метода «ручного» интегрирования В.В. Лычагина к системам двух квазилинейных гиперболических дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными t,x и двумя неизвестными функциями и=и(t,x) и v=v(t,x). Рассматриваемые системы являются частным случаем систем Якоби, для которых В.В. Лычагиным был предложен аналитический способ решения начально-краевой задачи. Каждому из уравнений системы ставится в соответствие дифференциальная 2-форма на четырехмерном пространстве. Эта пара форм однозначно определяет поле линейных операторов, которое для гиперболических уравнений порождает структуру почти произведения. Это означает, что касательное пространство четырехмерного пространства в каждой точке является прямой суммой двумерных собственных подпространств данного оператора и, таким образом, определены два двумерных распределения. Если хотя бы одно из этих распределений вполне интегрируемо, то можно построить векторное поле, сдвиги вдоль которого сохраняют решение исходной системы уравнений. Таким образом, решение начально-краевой задачи для рассматриваемой системы может быть получено аналитически с помощью сдвига начальной кривой вдоль траекторий данного векторного поля. В качестве примера рассмотрена система уравнений Бакли – Леверетта, описывающая процесс нелинейной одномерной двухфазной фильтрации в пористой среде. Для построения решения задачи Коши выбирается кривая начальных данных; график решения системы Бакли – Леверетта получается сдвигом этой кривой вдоль траекторий векторного поля (это векторное поле определено с точностью до умножения на функцию). Сечения компоненты этого графика для раз- личных моментов времени представлены на рисунке. На графике видно, что в какой-то момент времени решение перестает быть однозначным. В этот момент у решения происходит разрыв и возникает ударная волна.
The applicability of the V. Lychagin "manual" integration method is analyzed with respect to systems of two quasilinear hyperbolic differential equations of the first order with two independent variables t, x and two unknown functions u = u (t, x) and v = v (t, x). The systems under consideration are a special case of Jacobi systems, for which V. Lychagin proposed an analytical method for solving the initial-boundary value problem. Each of the equations of the system is associated with a differential 2-form on four-dimensional space. This pair of forms uniquely determines the field of linear operators, which, for hyperbolic equations, generates an almost product structure. This means that the tangent space of four-dimensional space in each point is a direct sum of two-dimensional own-subspaces of the given operator and, thus, two 2-dimensional distributions are defined. If at least one of these distributions is completely integrable, then it is possible to construct a vector field along which shifts keep the solution of the original system of equations. Thus, the solution of the initial-boundary value problem for the system under consideration can be obtained analytically by shifting the initial curve along the trajectories of the given vector field. As an example, the Buckley-Leverett system of equations describing the process of nonlinear one-dimensional two-phase filtration in a porous medium is considered. To construct the solution of the Cauchy problem, a curve of the initial data is chosen; the solution of the Buckley-Leverett system is obtained by shifting this curve along the trajectories of the vector field (this vector field is defined up to multiplication by a function). The cross-sections of the components of this graph for different instants of time are brought in the figure. The graph shows that at some point of time the solution stops being unambiguous. At this point, the solution breaks and a shock wave appears.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.