cahtНаучный вестник МГТУ ГАCivil Aviation High Technologies2079-06192542-0119Moscow State Technical University of Civil Aviation (MSTU CA)caht-1066Research ArticleСтатьиО МЕРАХ НЕКОМПАКТНОСТИ В НЕРАВЕНСТВАХON MEASURES OF NONCOMPACTNESS IN INEQUALITIESЕрзаковаН. А.ErzakovaN. A.

доктор физико-математических наук, профессор,

Москва

Doctor of Sciences (Physics and Mathematics), Professor,

Moscow

naerzakova@gmail.comМосковский государственный технический университет гражданской авиацииРоссияMoscow State Technical University of Civil AviationRussian Federation201703052017202135143Copyright © Ерзакова Н.А., 20172017Ерзакова Н.А.Erzakova N.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://avia.mstuca.ru/jour/article/view/1066

Меры некомпактности - это, по сути, числовые характеристики ограниченных подмножеств метрического пространства, равные нулю на относительно компактных подмножествах. Впервые количественную характеристику степени некомпактности (меру некомпактности) подмножества метрического пространства ввел в рассмотрение К. Куратовский в 1930 г. в связи с задачами общей топологии. Существуют различные меры некомпактности. Меры некомпактности - это простой и удобный инструмент для решения различных задач. Поэтому теория мер некомпактности до сих пор интенсивно развивается, находит все новые и новые приложения в различных областях математики. Так, в предлагаемой работе меры некомпактности используются при исследовании неравенства, точнее, обобщения одного неравенства, встречающегося в многочисленных публикациях и имеющего широкое приложение. Например, в трудах таких авторов, как Ю.А. Дубинский, Ж.-Л. Лионс и Э. Мадженес, это неравенство доказывается для операторов вложения в банаховых пространствах (частном случае метрических пространств), затем используется для доказательства разрешимости нелинейных эллиптических и параболических уравнений. В отличие от этих авторов здесь при исследовании неравенства не предполагается компактность оператора вложения. Более того, в метрическом пространстве для аналога неравенства, записанного через произвольные числовые характеристики ограниченных подмножеств (не обязательно мер некомпактности), получены необходимые и достаточные условия справедливости этого аналога. Следствием полученного результата, в случае если числовая характеристика множества, на самом деле, мера некомпактности, является новый критерий компактности одного оператора (не обязательно линейного) при условии компактности другого.

Measures of noncompactness are numerical characteristics of bounded subsets of metric space, equal to zero on relatively compact subsets. The quantitative characteristic of measure of noncompactness of metric space subset was introduced by K. Kuratovskiy in 1930 in connection with problems of general typology. Different measures of noncompactness exist. Measures of noncompactness are a simple and useful instrument for any problem solving. So the theory of measures of noncompactness is still developing and it finds more and more new applications in different branches of mathematics. In this article measures of noncompactness are used to study inequalities, more exactly the extension of an equality, studied in many works and having wide application. For example in the works by Yu.A. Dubinskiy, J.-L. Lions and E. Magenes this inequality is proved for embedding operators in Banach spaces (a particular case of metric spaces). Then it is used to prove the solvability of nonlinear elliptic and parabolic equations. In contrast to these authors in this work the compactness of the embedding operator is not assumed in the study of the inequality. Furthermore, in metric space for the analogue of the inequality, written via any numerical characteristics of bounded subsets (not necessarily measures of noncompactness), the needed and sufficient conditions of the correctness of this analogue are received. In case if numerical characteristic of a set is a measure of noncompactness, the conclusion of this result is a new criterion of compactness of the operator (not necessarily linear) under the condition of compactness of another one.The results of this work generalize some results achieved by the author previously.

нормированное пространствометрическое пространствомера некомпактностиоператор вложенияnormed spacemetric spacemeasure of noncompactnessembedding operatorReferencesЛионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 сLions Zh.-L., Madzhenes E. Neodnorodnyie granichnyie zadachi i ih prilozheniya [Problémes aux limites non limites non homogénes et applications]. M., Mir, 1971. 371 p. (in Russian)Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 сLions Zh.-L. Nekotoryie metodyi resheniya nelineynyih kraevyih zadach [Quelques méthodes de résolution des problémes aux limites non linéaires]. M., Mir, 1972. 588 p. (in Russian)Дубинский Ю.А. Некоторые интегральные неравенства и разрешимость квазилинейных вырождающихся эллиптических систем дифференциальных уравнений // Матем. сб. 1964. Том 64 (106), № 3. С. 458-480Dubinskiy Yu.A. Nekotorye integral’nye neravenstva i razreshimost’ kvazilinejnyh vyrozhdajushhihsja jelliptichkih system differencial’nyh uravnenij [Some integral inequalities and the solvability of quasilinear degenerate elliptic systems of differential equations]. Mat. sbornik. [Math. collection], 1964, vol. 64 (106), no. 3, pp. 458–480. (in Russian)Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сб. 1965. Том 67 (109), № 4. С. 609-642Dubinskiy Yu.A. Slabaja shodimost’ v nelinejnyh jelliptichkih i parabolicheskih uravnenijah [Weak convergence in nonlinear elliptic and parabolic equations]. Mat. sbornik. [Math. collection]. 1965, vol. 67 (109), no. 4, pp. 609–642. (in Russian)Ерзакова Н.А. Меры некомпактности в исследовании неравенств // Известия вузов. 2000. № 9 (460). С. 3-8Erzakova N.A. Meryi nekompaktnosti v issledovanii neravenstv [Measures of noncompactness in the investigation of inequalities]. Izvestiya VUZov [Russian Math. (Izv.VUZ)], 2000, vol. 44, no. 9 (460), pp. 3–8. (in Russian)Меры некомпактности и уплотняющие операторы / Р.Р. Ахмеров, М.И. Каменский, А.С. Потапов, Б.Н. Садовский, А.Е. Родкина. Новосибирск: Наука, 1986. 264 сAhmerov R.R., Kamenskiy M.I., Potapov A.S., Sadovskiy B.N., Rodkina A.E. Meryi nekompaktnosti i uplotnyayuschie operatoryi [Measures of Noncompactness and Condensing Operators]. Novosibirsk, Nauka, 1986. 264 p. (in Russian)Banas J., Goebel K. Measures of noncompactness in Banach spaces, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. New York, Basel, Marcel Dekker, 1980, 96 pBanas J., Goebel K. Measures of noncompactness in Banach spaces, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. New York, Basel, Marcel Dekker, 1980. 96 p.Ayerbe Toledano J.M., Domínguez Benavides T., López Acedo G. Measures of noncompactness in metric fixed points theory. Basel, Boston, Berlin, Birkhäuser, 1997, 208 pAyerbe Toledano J.M., Domínguez Benavides T., López Acedo G. Measures of noncompactness in metric fixed points theory. Basel, Boston, Berlin, Birkhäuser, 1997, 208 p.Appell J., De Pascale E. Su alcuni parametri connessi con la misura di noncompatezza di Hausdorff in spazi di funzioni misurabili. Boll. Unione Mat. Ital. 1984, 3-B, pp. 497-515Appell J., De Pascale E. Su alcuni parametri connessi con la misura di noncompatezza di Hausdorff in spazi di funzioni misurabili. Boll. Unione Mat. Ital. 1984, 3-B, pp. 497–515.Erzakova N.A. Measures of Noncompactness in Regular Spaces // Canad. Math.Bull. 57. 2014, pp. 780-793Erzakova N.A. Measures of Noncompactness in Regular Spaces. Canad. Math.Bull. 57. 2014, pp. 780–793.Erzakova N.A. Generalization of some M.A. Krasnosel'skii's results. J. Math.Anal. Appl. Vol. 428, 2015, pp. 1368-1376Erzakova N.A. Generalization of some M.A. Krasnosel'skii's results. J. Math. Anal. Appl., 2015, vol. 428, pp. 1368–1376.Erzakova N.A., Väth M. On strongly condensing operators. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923), 2017, vol. 196, no. 1, pp. 304-323, doi:10.1007/s10231-016-0573-8Erzakova N.A., Väth M. On strongly condensing operators. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923-). 2017, vol. 196, no. 1, pp. 304–323, doi:10.1007/s10231-016-0573-8.Väth M. Ideal spaces, Lecture Notes Math., № 1664, Berlin, Heidelberg: Springer, 1997, 146 pVäth M. Ideal spaces, Lecture Notes Math., №1664, Berlin, Heidelberg, Springer, 1997. 146 p.Väth M. Volterra and integral equations of vector functions. New York, Basel, Marcel Dekker, 2000, 156 pVäth M. Volterra and integral equations of vector functions. New York, Basel, Marcel Dekker, 2000, 156 p.Plichko A.M., Popov M.M. Symmetric function spaces on atomless probability spaces, Dissertatioones Math. Rozprawy, 306, 1990, pp. 1-85Plichko A.M., Popov M.M. Symmetric function spaces on atomless probability spaces, Dissertatioones Math. Rozprawy, 306, 1990, pp. 1–85.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.