cahtНаучный вестник МГТУ ГАCivil Aviation High Technologies2079-06192542-0119Moscow State Technical University of Civil Aviation (MSTU CA)caht-1064Research ArticleСтатьиО СТРУКТУРЕ ДЕЙСТВИЯ КОПРИСОЕДИНЕННОГО ОПЕРАТОРА НА АЛГЕБРЕ ТОКОВ ТРЕХМЕРНОГО ТОРАON THE STRUCTURE OF THE OPERATOR COADJOINT ACTION FOR THE CURRENT ALGEBRA ON THE THREE-DIMENSIONAL TORUSЛукацкийА. М.LukatskyA. M.

ведущий научный сотрудник, доктор физ.-мат. наук, 

Москва

a leading researcher, Doctor of phys.-math. sciences,

Moscow

lukatskii.a.m.math@mail.ruИнститут энергетических исследований РАНРоссияEnergy Research Institute of Russian Academy of SciencesRussian Federation201703052017202117125Copyright © Лукацкий А.М., 20172017Лукацкий А.М.Lukatsky A.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://avia.mstuca.ru/jour/article/view/1064

Для алгебры Ли потоков на трехмерном торе с нестандартной скобкой Ли установлены некоторые свой- ства, в случае когда сумма присоединённого и коприсоединенного операторов на бесконечномерной алгебре Ли со скалярным произведением, имеет конечную норму. Точнее, для уравнения Ландау - Лифшица на трехмерном торе*установлено, что оператор Sm = (adm + adm ) / 2имеет конечную норму, хотя это не так для присоединённого дей-mствия admи коприсоединённого действия ad∗. Из этого выводится, что коэффициенты разложения решения поортонормированному базису собственных векторов оператора Лапласа удовлетворяют условию Липшица. Таким образом, для уравнения Ландау - Лифшица на трехмерном торе ситуация схожа с таковой для идеальной жидкости и уравнения Кортвега - де Фриза. С другой стороны, если для уравнений гидродинамики и уравнения Кортвега - де Фриза такой факт был установлен в общем виде, то для уравнения Ландау - Лифшица на трехмер- ном торе это выведено специальным способом, через вычисление структурных констант и матрицы коприсоеди- нённого действия на алгебре токов с нестандартной скобкой Ли.

For the current Lie algebra on the three-dimensional torus with non-standard Lie bracket some properties, in the case when the sum of adjoint and coadjoint operators on infinite-dimensional Lie algebra with scalar product has a finite norm are established. For the Landau-Lifshitz equation in the three-dimensional torus it is established that the operatorm mS = (ad+ ad* ) / 2mhas a finite norm, though it is not true the operators of the adjoint action adm and coadjoint ac-mtion ad ∗ . It follows that the coefficients of expansion of the solution in an orthonormal basis of eigenvectors of the La- place operator satisfy Lipschitz conditions. Thus, for the Landau-Lifshitz equation on the three-dimensional torus situationis similar to the equations of an ideal fluid and Korteweg de Vries. On the other hand, if for the equations of fluid dynamicsand Korteweg de Vries, this fact has been established in a general way, for the Landau-Lifshitz equation in the three- dimensional torus it is obtained specifically through the calculation of structural constants and the matrix of the coadjoint action for the current algebra with non-standard Lie bracket.

алгебра токовскобка Лидействие присоединённого оператораоператор коприсоеди- нённого действиятрёхмерный торуравнение Ландау - Лифшицакомпактный операторусловие Липшицаcurrent algebraLie bracketoperator of the adjoint actionoperator of the coadjoint actionthree- torusthe Landau-Lifshitz equationcompact operatorLipschitz conditionReferencesArnold V.I., Khesin B.A. Topological methods in gydrodynamics. Springer, New-York, 1998, 392 p.Arnold V.I., Khesin B.A. Topological methods in gydrodynamics. Springer, New-York, 1998, 392 p.Khesin B.A., Wendt R. The geometry of infinite-dimensional group. Springer. New-York, 2009, 304 p.Khesin B.A., Wendt R. The geometry of infinite-dimensional group. Springer. New-York, 2009, 304 p.Aleksovskii V.A., Lukatskii A.M. Nonlinear dynamics of the magnetization of ferromagnets and motion of a generalized solid with flow group. Theoret. and Math. Phys., 1990, vol. 85, no. 1, pp. 1090–1096.Aleksovskii V.A., Lukatskii A.M. Nonlinear dynamics of the magnetization of ferromagnets and motion of a generalized solid with flow group. Theoret. and Math. Phys., 1990, vol. 85, no. 1, pp. 1090–1096.Лукацкий А.М. Структурные и геометрические свойства бесконечномерных групп Ли в приложении к уравнениям математической физики. Ярославль: Ярославский Государственный Университет, 2010. 175 с.Lukatsky A.M. Structural and geometric properties infinite Lie groups in the application of the equations of mathematical physics. Yaroslavl, Yaroslavl State University named P.G. Demidov, 2010, 175 p. (in Russian)Лукацкий А.М. Исследование геодезических потоков на бесконечномерных группах Ли при помощи действия коприсоединенного оператора // Труды Математического института им. Стеклова. 2009. Т. 267, вып. 1. С. 195–204.Lukatsky A.M. Investigation of the geodesic flow on an infinite-dimensional Lie group by means of the coadjoint action operator. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, December 2009, vol. 267, issue 1, pp. 195–204. (in Russian)Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. M.: Наука, 1972. 496 с.Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elements of the theory of functions and functional analysis. M., Nauka, 1972, 496 p. (in Russian)Жук В.В., Натанзон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимаций. Л.: Издательство Ленинградского Университета, 1983. 188 с.Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometric Fourier series and elements approximation theory. Leningrad. Publishing House of Leningrad University Press, 1983, 188 p. (in Russian)Temam R. Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis. North Holland Publ. Comp., 1979.Temam R. Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis. North Holland Publ. Comp., 1979.Арнольд В.И. Математические методы в классической механике. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 408 с.Arnold V.I. Mathematical methods in classical mechanics. M., Editorial URSS, 2000, 408 p. (in Russian)Зуланке Р., Виттен П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М.: Мир, 1975.Zulanke R., Witten P. Differential geometry and fiber bundles. M., Mir, 1975. (in Russian)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.