cahtНаучный вестник МГТУ ГАCivil Aviation High Technologies2079-06192542-0119Moscow State Technical University of Civil Aviation (MSTU CA)caht-1059Research ArticleСтатьиДОЗВУКОВОЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ НЕИЗОЭНТРОПИЙНЫХ ТЕЧЕНИЙMAXIMUM PRINCIPLE FOR SUBSONIC FLOW WITH VARIABLE ENTROPYСизыхГ. Б.SizykhG. B.

кандидат физико-математических наук, доцент,

Москва

PhD, Associate Professor,

Moscow

o1o2o3@yandex.ruМосковский физико-технический институт (государственный университет)РоссияMoscow Institute of Physics and Technology (State University)Russian Federation2017030520172027482Copyright © Сизых Г.Б., 20172017Сизых Г.Б.Sizykh G.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://avia.mstuca.ru/jour/article/view/1059

Дозвуковой принцип максимума справедлив для дозвуковых стационарных безвихревых течений газа. Со-гласно этому принципу, если модуль скорости не постоянен всюду, то его максимум достигается на границе и только на границе рассматриваемой области течения. Это свойство используется при разработке формы летатель-ных аппаратов с максимальным критическим значением числа Маха: считается, что если в набегающем потоке и на поверхности обтекаемого тела местное число Маха меньше единицы, то в течении нет звуковых точек. Известное доказательство дозвукового принципа максимума существенным образом опирается на предположение о том, что во всей рассматриваемой области течения давление является функцией плотности. Для идеального (роль диффузии молекул пренебрежимо мала) совершенного (закон Менделеева - Клапейрона) газа давление является функцией плотности, если во всей рассматриваемой области течения энтропийная функция постоянна. Приведен пример дозвукового стационарного безвихревого течения газа, в котором энтропийная функция имеет различные значения на разных линиях тока, а давление не является функцией плотности. Применение дозвукового принципа максимума к такому течению было бы необоснованно. Приведенный пример показывает содержательность вопроса о месте точек максимума модуля скорости дозвуковых стационарных безвихревых неизоэнтропийных течений газа. Для выяснения закономерностей расположения таких точек был проведен анализ полных (без каких-либо упрощающих допущений) уравнений Эйлера в общем пространственном случае. Предложено новое доказательство дозвукового принципа максимума. Это доказательство не опирается на предположение об изоэнтропийности. Тем самым показано, что требование изоэнтропийности можно исключить из условий дозвукового принципа максимума. Дозвуковой принцип максимума оказывается верным и для неизоэнтропийных дозвуковых стационарных безвихревых течений идеального совершенного газа.

Maximum principle for subsonic flow is fair for stationary irrotational subsonic gas flows. According to this principle, if the value of the velocity is not constant everywhere, then its maximum is achieved on the boundary and only on the boundary of the considered domain. This property is used when designing form of an aircraft with a maximum critical value of the Mach number: it is believed that if the local Mach number is less than unit in the incoming flow and on the body surface, then the Mach number is less then unit in all points of flow. The known proof of maximum principle for subsonic flow is based on the assumption that in the whole considered area of the flow the pressure is a function of density. For the ideal and perfect gas (the role of diffusion is negligible, and the Mendeleev-Clapeyron law is fulfilled), the pressure is a function of density if entropy is constant in the entire considered area of the flow. Shows an example of a stationary subsonic irrotational flow, in which the entropy has different values on different stream lines, and the pressure is not a function of density. The application of the maximum principle for subsonic flow with respect to such a flow would be unreasonable. This example shows the relevance of the question about the place of the points of maximum value of the velocity, if the entropy is not a constant. To clarify the regularities of the location of these points, was performed the analysis of the complete Euler equations (without any simplifying assumptions) in 3-D case. The new proof of the maximum principle for subsonic flow was proposed. This proof does not rely on the assumption that the pressure is a function of density. Thus, it is shown that the maximum principle for subsonic flow is true for stationary subsonic irrotational flows of ideal perfect gas with variable entropy.

уравнения Эйлерадозвуковой принцип максимумабезвихревые теченияизоэнтропийностьEuler equationssubsonic maximum principleirrotational flowflow with variable entropyReferencesShiffman M. On the Existence of Subsonic Flows of a Compressible Fluid. J. Ration. And Analysis. 1952, vol. 1, pp. 605-652Shiffman M. On the Existence of Subsonic Flows of a Compressible Fluid. J. Ration. And Analysis. 1952, vol. 1, pp. 605–652.Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой аэродинамики. М.: ИЛ, 1961. 208 сBers L. Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics. Surveys in Applied Mathematics. Vol. 3. New York, John Wiley & Sons Inc. 1958. 164 p.Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1947. 256 сLamb H. Hydrodynamics. Cambridge University Press. 1895. 604 p.Hopf E. Elementare Bemerkungen uber die Losungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom Elliptischen Typus. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1927, vol. 19, pp. 147-152Hopf E. Elementare Bemerkungen uber die Losungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom Elliptischen Typus. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1927, vol. 19, pp. 147–152.Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Издательство иностранной литературы, 1957. 256 сMiranda C. Partial Differential Equations of Elliptic Type. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag. 1970. 370 p.Беспорточный А.И., Бурмистров А.Н., Cизых Г.Б. Вариант теоремы Хопфа // ТРУДЫ МФТИ. 2016. Т. 8, N 1. С. 115-122Besportochnyy A.I., Burmistrov A.N., Sizykh G.B. Variant teoremy Hopfa [Version of the Hopf Theorem]. Trudy MFTI [Proceedings of MIPT], 2016, vol. 8, no. 1, pp. 115–122. (in Russian)Gilbarg D., Shiffman M. On Bodies Achieving Extreme Value of the Critical Mach Number. I. J. Ration. And Analysis. 1954, vol. 3, no. 2, pp. 209-230Gilbarg D., Shiffman M. On Bodies Achieving Extreme Value of the Critical Mach Number. I.J. Ration. And Analysis. 1954, vol. 3, no. 2, pp. 209–230.Бурмистров А.Н., Ковалёв В.П., Cизых Г.Б. Принцип максимума для решения уравнения эллиптического типа с неограниченными коэффициентами // ТРУДЫ МФТИ. 2014. Т. 6, № 4. С. 97-102Burmistrov A.N., Kovalev V.P., Sizykh G.B. Printsip maksimuma dlia resheniia uravneniia ellipticheskogo tipa neogranichennymi koeffitsientami [Maximum Principle for the Solution of an Elliptic Equation With Unbounded Coefficients]. Trudy MFTI [Proceedings of MIPT], 2014, vol. 6, no. 4, pp. 97–102. (in Russian)Cизых Г.Б. Признак наличия точки торможения в плоском безвихревом течении идеального газа // ТРУДЫ МФТИ. 2015. Т. 7, № 2 (26). С. 108-112Sizykh G.B. Priznak nalichiia tochki tormozheniia v ploskom bezvihrevom techenii idealnogo gaza [Sign of the Presence of Braking Points in a Planar Irrotational Flow of an Ideal Gas]. Trudy MFTI [Proceedings of MIPT], 2015, vol. 7, no. 2, pp. 108–112. (in Russian)Голубкин В.Н., Cизых Г.Б. Принцип максимума функции Бернулли // Ученые записки ЦАГИ. 2015. Т. 46, N 5. С. 53-56Golubkin V.N., Sizykh G.B. Maximum Principle for Bernoulli Function. TsAGI Science Journal. 2015, vol. 46, issue 5, pp. 485–490.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.